2009 Fiscal Year Annual Research Report
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20540164
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
清水 扇丈 Shizuoka University, 理学部, 教授 (50273165)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
菊地 光嗣 静岡大学, 工学部, 教授 (50195202)
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| Keywords | 最大正則性 / 自由境界問題 / Navier-Stokes方程式 / UMD空間 / R-boundedness / Fourier-multiplierの定理 / 斉次Besov空間 / 表面張力 |
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| Research Abstract |
(1)水槽内の単一気泡のような単一有界な領域や、海の波のような水平方向に無限な非圧縮性粘性流体に対し、自由境界に表面張力を考慮に入れて、任意の初期データに対する時間局所解の一意存在を早稲田大学の柴田良弘教授との共同研究により示した。Navier-Stokes方程式で記述される自由境界問題を固定境界に直すと、準線形方程式となる。そのため、解析的半群の評価のみでは非線形項を制御できず、最大正則性評価式が必要となる。吉田耕作、加藤敏夫、藤田宏を創始とする日本グループの伝統的手法である解析的半群によるアプローチに加え、WeisとDenk-Hieber-PruessによるR-boundedな作用素の族に対するFourier-multiplierの定理に着目して線形化問題のLp-Lq最大正則性を示した。それをNavier-Stokes方程式の自由境界問題に応用し、Navier-Stokes方程式のスケール不変なLp-Lq関数クラスで解を構成することに成功した。表面張力を考慮に入れると波動効果によりスケール不変な関数クラスであるLp-Lq関数クラスでの解析はより困難であった。
(2)WeisによるR-boundedな作用素の族に対するFourier-multiplierの定理は、UMD(unconditional martingale differences)Banach空間に対する一般論である。UMD Banach空間ではない斉次Besov空間において、熱方程式の初期値問題に対する最大正則性を東北大学の小川卓克教授と共同研究により導き、その応用として2次元Keller-Segel方程式の初期値問題に対し任意の初期データに対する時間局所解の一意存在を示した。
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