2021 Fiscal Year Annual Research Report
新たな段階に入った有限要素法基盤の精度保証付き数値計算の進展
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20H01820
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
劉 雪峰 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (50571220)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 助教 (60707743)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 有限要素法 / 不連続ガレルキン法 / 逆作用素ノルム / Navier-Stokes方程式 / 計算機援用証明 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限要素法の各手法の中で不連続ガレルキン法はよく用いられているが、通常の不連続ガレルキン法は、与えられたペナルティーパラメータを固定する場合、異方的なメッシュ上では不安定になる。それを回避するために、異方的な単体で成り立つトレース不等式を使って、新たな不連続ガレルキン法のスキームを提案した。さらに、新しい不連続ガレルキン法の誤差解析に関する定理を証明し、さらに数値実験でその正しさを確かめた。
ヒルベルト空間における無限次元線形作用素の可逆性と逆作用素ノルムを数学的に厳密な意味で検証する新しい精度保証付き数値計算アルゴリズムを提案し、その有効性を様々な微分作用素に対し実証した。また、Kolmogorov問題の精度保証付き数値計算を効率化するために必要な、ノルム定数の評価を大幅に改善した。
3次元の流体方程式に対する精度保証付き数値計算は、必要とする計算量が膨大であるため困難であったが、効率的な検証スキームを開発することで、3次元定常Navier-Stokes方程式の検証に成功した。また、今後の研究において重要になると思われる、三角形要素上の補間誤差の最大値ノルムによる評価に成功した。
時間発展する偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算理論を構築し、数値計算で得られた近似解の近傍に真の解が時間局所存在することを数値的に検証する計算機援用証明手法を提案した。応用例として、非線形熱方程式の複素時間領域における解のダイナミクスについて解析を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウィルスの感染拡大により、国内外における研究打ち合わせや国際研究集会での情報収集などに支障をきたし、研究に要する期間が延長されたが、最終的には当初に想定したレベルの研究成果が得られており、研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究によって、精度保証付き数値計算の研究分野について、新たな手法の開発やその理論的な裏付けの研究などが進展してきたので、それらの成果を元に、引き続き研究代表者および研究分担者で連携を取りながら研究を推進していく。
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