2022 Fiscal Year Research-status Report
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20K03511
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山崎 愛一 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10283590)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 有理性問題 / 代数的トーラス / 双有理同値 / flabby resolution / Hasseの原理 / 数論 / 代数幾何 / 計算機代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
kを体、Gをkの絶対Galois群とする。このとき、k係数代数的トーラスTと、Tのcharacter module X(G)をG加群とみなしたMは一対一に対応することが知られている(小野).
私は新潟大学の星明考さん，金井和貴さんとの共同研究でkが代数的数体でK/kが15次以下のとき，K/kのノルム1トーラスT=R^(1)_{K/k}(G_m)に対してハッセノルム原理の成否が成り立つ必要十分条件を決定した．これは、n=12の場合はJournal of Number Theoryから、n≦15で12以外の場合はMathematics of Computationから論文が出版された.
新潟大学の星明考さんとの共同研究で、k係数代数的トーラスのstably equivalent classの分類を扱った.先行研究により、rank 2以下についてはrationalであることが知られている.rank 3の場合についてはKunyavskiiにより、rationalでなければnot retract rationalであることが知られている.rank 3でnot rationalの一番基本的な場合はC2xC2のNorm 1 torusの場合でKunyavskiiの記号でU1と表されるが、Colliot-TheleneとSansucにより、stably equivalentになるための条件は最小分解体が一致することが条件であることが知られている.stably equivalent classが必要十分条件の形で完全に決定されたのはこのU1の場合だけであったが、本研究ではrank 4までのstably equivalent classを必要十分条件の形で網羅的に決定した.我々の研究はKunyavskiiの結果とColliot-Theleneらの結果の橋渡しをするものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
一般にstably equivalent classの不変量としてш^1_w(G,[M]^{fl}),ш^2_w(G,([M]^fl)^゜),ш^2_w(G,[M]^fl)の3つが知られている.私はこれら3つの値を計算するコンピュータプログラムを書いて具体的にそれらを計算した.しかしstably equivalent classの分類にはそれだけでは不十分でweak stably equivalentという概念を定義する必要が出てきた.
私は新潟大学の星さんとの共同研究でこの問題を扱い、rank 4までの代数的トーラスについてstably equivalentになるための必要十分条件を決定した(arXiv:2112.02280)。この結果は論文として投稿する予定である。アルゴリズムは https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yamasaki/Algorithm/BCAlgTori/ に公開したので、興味のある人は誰でもダウンロードして計算することができる。この問題は2014年ごろからずっと考えていて、rank 3の場合に限れば比較的簡単にstably equivalentの必要十分条件を決めることができたが、rank 4の場合は長い間必要十分条件を決定できずにいた。理論面と計算機環境の両方が改善したためrank 4の場合もようやく必要十分条件を決定することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
ここ数年新型コロナウイルスの影響で海外の研究者との交流がひどく減ってしまったが、今後の状況次第では今まで以上に海外の研究者との交流を深めたい．具体的にはMathieu Florenceさんが日本に来る予定である。ほかにも機会があれば交流したい。
現在ではZoomをはじめとしたオンラインミーティングツールが充実しているため、離れた場所にいても議論することはできるが、そのためにはまず少なくとも一回は対面で会って議論をする必要がある。そのため、国内外の関連研究者との交流は大切である。
計算機を使って得られたアルゴリズムやデータはホームページ上に公開して、興味を持った人が誰でもダウンロードして使えるようにする。近年は地震や台風などの自然災害によりデータを失うリスクが増加しているので、データバックアップを強化する。
今後も，書籍や計算機関連で必要なものがあれば買いそろえて、数論,代数幾何,計算機代数などの分野を問わず関連した研究を続けたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で国内外の研究者との対面での交流があまりできなかったため旅費が予定よりも少なくなった
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| Remarks |
論文に関連して開発したアルゴリズムやデータについて、興味を持った人は誰でもダウンロードして使えるようにホームページ上に公開しています。
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