2020 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
20K03519
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60306850)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 代数的独立性 / 空隙級数 / Mahler関数 / 線形回帰数列 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
超越数の実例の構成は困難な問題である。特に、代数的独立であるような、即ち有理数係数の多項式で表される関係式で結び付けられないような、多数の超越数を構成することは容易ではない。本研究は、代数的独立な超越数の実例を一つの関数を用いて最も効率良く構成することを目的とする。具体的には、一つの関数であって、その定義域内にあるすべての代数的数における値および、そのような点における任意の階数の微分係数をすべて併せても代数的独立となる、という著しい性質（以下、微分完全代数的独立性という）をもつ関数の構成を目指している。
微分完全代数的独立性を有する関数を構成する土台として、冪級数であって0でない係数をもつ項の次数に大きな跳びがあるもの（以下、これを空隙級数という）に着目した。空隙級数の代数的数における値が代数的独立でないとすれば、上述の多項式で表される関係式の中で既約なものは１次式に限られることが先行研究において知られていた。これは指数関数等のよく知られた関数には見られない現象である。この現象について具体的に述べると、相異なる代数的数であって冪乗すると等しくなるものにおける空隙級数の値は次数が同じ項における値どうしが打ち消し合う場合に限り従属となることを意味する。本研究ではこのことを深く追求し、空隙級数であって0でない係数をもつ項の次数が任意の正整数を法とする任意の剰余類に無限個分布するようなものは微分完全代数的独立性をもつと予想した。そのような空隙級数の中で多変数Mahler関数の特殊化として得られるタイプのものに関しては、ある種の降下法が適用できることを研究代表者は見出した。その結果、0でない係数をもつ項の次数が簡単な構造の線形回帰数列を成し、微分完全代数的独立性を有する空隙級数の構成に成功した。即ち、より簡単な構造でありながら著しい代数的独立性を示す関数が構成できたことは意義深い。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
微分完全代数的独立性を有する１変数関数の構成を端緒として、その高次元化である偏微分完全代数的独立性を有する多変数関数を構成することが本研究課題の目的である。偏微分完全代数的独立性とは、代数的数を成分とするすべての点における値および、そのような点における任意の階数の偏微分係数をすべて併せても代数的独立となる、という多変数関数としての著しい性質である。そのような高次元化を達成するためには、微分完全代数的独立性をもつ１変数関数であって、なるべく構造が簡単なものを構成する必要がある。その理由は以下の通りである。多変数関数が偏微分完全代数的独立性をもつためには、各変数に関して非対称であるのみならず、それを遥かに凌ぐ著しい非対称性をもつ必要があることが知られている。本研究における戦略は、微分完全代数的独立性を有する１変数関数を基盤として偏微分完全代数的独立性を有する多変数関数を構成するというものである。この場合、基盤となる１変数関数として「十分に異なる」複数の微分完全代数的独立性を有する関数を準備し、それらに相異なる変数を割り当てたものを合成する形で、目的の偏微分完全代数的独立性を有する多変数関数を構成する方法が最も有効であると考えられる。このように十分に異なるものを合成する過程で技術的な困難を回避するためには、各々の１変数関数はなるべく簡単な構造である方がよい。その点で上記「研究実績の概要」欄で得た結果は本研究課題の第１段階として望ましいものである。また、この結果をまとめた論文を学術誌に投稿し現在査読中である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
上記「研究実績の概要」欄で述べた線形回帰数列により生成される冪級数に加えて、無限積型のMahler関数を基盤とすることにより、偏微分完全代数的独立性を有する多変数関数の構成を目指す。即ち、線形回帰数列により生成される無限積であって、多変数Mahler関数の特殊化として得られるタイプのものを活用する。
偏微分完全代数的独立性を考える前段階の微分完全代数的独立性において、一見すると無限積の場合は考察する対象をやや縮小し零点を除外した代数的数における値の集合に限定する必要があるようにみえる。しかし、無限積の各零点における位数以上の階数の微分係数を除外する必要はない。実際、研究代表者の研究室の大学院生が以下のことを発見した。即ち、無限積の各零点における位数以上の階数の微分係数は、その点が零点とならないようにシフトした無限積の値および微分係数の１次結合で表せるということである。これにより、無限積型のMahler関数を零点の最大位数まで微分したものは、従来の定義通りの微分完全代数的独立性を有することが導かれる。
従って、偏微分完全代数的独立性への拡張に際して残された課題のひとつは「十分に異なる」複数の無限積型Mahler関数を準備することである。さらに、それらを結び付けて多変数関数とし、偏微分完全代数的独立性をもつようにするための新たな関数が必要である。後者の関数は、冪級数型および無限積型Mahler関数と同じ変数変換の下に関数方程式を満たしている一方で、それらMahler関数の値と後者の関数の値を併せても代数的独立となる必要があると考えられる。この要請を満たす多変数Mahler関数の実例を既に研究代表者は先行研究において得ている。その過程で用いた手法を発展させることにより、上記の要請に沿う新たな多変数Mahler関数を見出し、偏微分完全代数的独立性を有する多変数関数を構成する。
|
| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は以下の通りである。新型コロナウイルス感染症の世界的蔓延により海外渡航が困難となり、2020年度に欧州に渡航して行う予定だった共同研究が実施できなかった。また、国内の研究集会もすべてオンラインでの開催となった。これらの状況により計上していた旅費がすべて不要となった。
使用計画は以下の方針で進める。2021年度も上述と同様の状況が継続する可能性が高いことから、不確実性の高い旅費の計上額は例年より減額する。それに替えて物品費の計上額を増やし、オンラインでの共同研究の効率を上げるための措置等に充てる。
|
