リー代数の観点に立脚した幾何学的不変式論の構築とその応用

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03526
• Research Institution: Fukushima National College of Technology
• Principal Investigator: 澤田 宰一 福島工業高等専門学校, 一般教科, 准教授 (80647438)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: フロベニウス・サンドイッチ

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、リー代数の観点に立脚した幾何学的不変式論の構築、及び、分子の配置問題などへの正標数の代数幾何学の応用である。本年度は、基礎理論の整備の一環として、標数が2の代数的閉体上の射影平面のフロベニウス・サンドイッチの特異点配置の、フロベニウス・サンドイッチに対応する1-フォリエーションの次数に関する分類に取り組んだ。成果として、1-フォリエーションの次数が1、0、-1の場合の分類に成功した。具体的には、次数が1のときは特異点の配置はA_1となり、次数が0のときは3A_1となり、次数が-1のときは7A_1、D_4^0+3A_1、D_6^0+A_1、D_7^0のいずれかになることが証明できた。本結果についてはタイトル「Configulations of singularities of quotients of the projective plane by 1-foliations of degree -1, 0, and 1 in characteristic 2」で論文を執筆中であり、2021年度の投稿を目指している。今後は、当初の目標であった、トーリック多様体の大域的F正則Fサンドイッチの分類の完成、及び、トーリック多様体の高次のフロベニウス・サンドイッチの構造の解明を目指し、その応用として空間上の配置問題への正標数の代数幾何学の応用を行いたい。また、SL(n,C)の有限部分群Gが多項式環Sに作用していとき、ねじれ群環S*Gが不変式環S^Gの非可換クレパント解消になることが知られているが、その結果を踏まえて、多項式環上の半単純な導分dについて、射影S[d]加群の圏と極大コーエン・マコーレーS^d加群の圏が圏同値にならないか考察を行った。この研究に関しては、証明の概略の検討が済み、今後は各ステップの詳細を埋め、証明を完成させたいと考えている。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

コロナ禍により、本研究以外の業務が増え、その対応に追われたため。具体的には、授業が例年とは異なる遠隔授業形式となり、その準備や対応の必要があったため。また、寮務について、対面授業再開後の寮での感染防止対応に追われたため。

Strategy for Future Research Activity

まず、引き続き、トーリック多様体の大域的F正則Fサンドイッチの分類の完成を目指したい。次にトーリック多様体の高次のフロベニウス・サンドイッチの構造の解明も行いたい。更に、多項式環上の半単純な導分dについて、射影S[d]加群の圏と極大コーエン・マコーレーS^d加群の圏が圏同値になることの証明を行うとともに、導分の作用について、有理二重点に関するMcKay対応、Bridgeland-King-Reidの導来McKay対応に関する結果、非可換クレパント解消の理論の類似が議論ができないか考察を行いたい。そして、それらを総合してリー代数の観点に立脚した幾何学的不変式論の構築、及び、分子の配置問題などへの正標数の代数幾何学の応用を目指す。

Causes of Carryover

次年度使用額が生じた理由は、コロナ禍により当初予定していた研究打合せ等が出来なかったため。使用計画として、図書の購入と研究打合せ等のための旅費として使用を計画している。