2020 Fiscal Year Research-status Report
Unified homological algebra encompassing exact, abelian, triangulated categories and its enhancement
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20K03532
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
中岡 宏行 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (90568677)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 完全圏 / 三角圏 / アーベル圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的としては、ホモロジー代数の重要な舞台であるアーベル圏・完全圏および三角圏を含む圏のクラスであるextriangulated categoryに対して、局所化や三角圏への埋め込み定理といった理論的枠組みの発展、ならびに∞圏等を用いた高次増強の模索などを挙げていた。今年度は共著で３編のプレプリントを作成し、プレプリントサーバーarXivに掲載を行った。(1) External triangulation of the homotopy category of exact quasi-category (2020年4月)では、完全∞-圏のホモトピー圏がextriangulated categoryの構造を持つことを示した。高次圏論的増強の方法が一つ確かめられたことになる。(2) Positive and negative extensions in extriangulated categories (2021年3月)では、extriangulated categoryの正高次extension、ならびに負高次extensionの一般論を与えた。(3) Localization of extriangulated categories (同じく2021年3月)では、extriangulated categoryの局所化を扱った。この局所化は、完全圏・アーベル圏・三角圏で知られている種々の局所化のうち、付随する加法関手が完全な場合の殆どを含む結果を与えている。
また、投稿中であった「extriangulated categoryの高次数版」としてn-完全圏・(n+2)-角圏を統一的に扱う枠組を論じた論文"n-exangulated categories"は前半部分が改訂ののち、Journal of Algebraから出版された。なお、後半については現在も査読中。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に記した3編のプレプリントのうち(1),(3)により、本研究課題のうち研究計画に記載のあった「extriangulated categoryの局所化」ならびに「完全∞-圏によるextriangulated categoryの増強」に関わる部分が概ね達成された。さらに、プレプリント(2)で与えた構成はextriangulated categoryにおける正および負の高次Ext関手の一般的取り扱いを可能とするものであり、今後、extriangulated categoryのさらなる理論的発展に関わる多くの部分に役立つと期待できる。また、(smallな)extriangulated categoryが自動的にこうした構造を持つという事実は、より一般的な概念の定義に繋がる可能性があると思われる。(1),(3)で研究計画どおりの結果が得られていることに加え、(2)で付加的な結果が得られているという点で、当初の計画以上に進展したと言える。一方で三角圏への埋め込みについては、任意のsmallなextriangulated categoryで可能であるか、あるいは反例を与えることが可能なのか、といったことを充分に解明するには至っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に挙げた事柄のうち三角圏への埋め込みについては、任意のsmallなextriangulated categoryで可能であるか、あるいは反例を与えることが可能なのか、といった方向から引き続き検討したい。∞-圏以外の高次圏論的概念による増強についても、その可能性を検討したい。また、研究実績の概要に記したプレプリント(2)の結果にはさらに発展の可能性がある。正および負の高次extensionを用いてどのような構成が可能かを調べ、その応用についても検討したい。また、任意のsmallなextriangulated categoryが自動的に正負の高次Extensionの構造を持つという事実は、extriangulated categoryあるいはn-exangulated categoryのより一般的あるいは概念的な定義に繋がる可能性があると考えている。アーベル圏・完全圏・三角圏を含み、さらに適用範囲の広い一般的概念となると期待できるので、この方向でも研究を進めたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの世界的な感染拡大により当初予定していた研究集会・研究打ち合わせのための出張などが中止・延期となったことが、次年度使用額の生じた主な原因です。これら次年度への繰り越し分については、オンラインでの研究発表・研究打合せのために必要となる諸費用、ならびに、延期となった集会等が実施された場合の出張費などに使用予定です。
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