Structural analysis of Serre subcategories using extension subcategories

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03549
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: National Institute of Technology, Toyota College
• Principal Investigator: Yoshizawa Takeshi 豊田工業高等専門学校, 一般学科, 准教授 (00636194)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: セール部分圏 / ねじれ理論 / 局所コホモロジー加群

Outline of Final Research Achievements

(1) We have shown that localizing subcategories characterize the condition under which a specialization closed subset of the spectrum of a ring realizes a torsion pair connected by a Serre subcategory. As an application, a method for constructing Serre subcategories using extension subcategories is obtained.
(2) Abstracting the notion of torsion pair connected by a Serre subcategory from the module category to the abelian category, we have given the notion of torsion pair connected by a heart.
(3) We gave an annihilation theorem that nonnegative integer-valued functions on the spectrum of a ring characterize the existence of annihilators of local cohomology modules that do not depend on the choice of an ideal.

Free Research Field

可換環論、圏論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

連結ねじれ対が特殊化で閉じた部分集合で実現される条件の記述は、Gabrielによる局所部分圏の分類定理の拡張であり、部分圏の分類研究に連結ねじれ対を用いるという新たな方向性を与えた点に学術的意義がある。
ハートによる連結ねじれ対の重要性は、独立して研究されている傾理論の「ねじれ部分の区間のハート」と、局所コホモロジー論と相性の良いメルカーソン条件と関連が深い「セール部分圏による連結ねじれ対」が、ハートによる連結ねじれ対の枠組みで同時に扱えるようになった点にある。
消去元の存在性に関する成果は、多分野に応用される部分圏の分類研究が、局所コホモロジー論でも有効であることを明示した点で価値がある。