無限次代数体のイデアル類群の自明性とその応用

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03563
• Research Institution: Kogakuin University
• Principal Investigator: 森澤 貴之 工学院大学, 教育推進機構, 准教授 (50724374)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 単数 / 類数

Outline of Annual Research Achievements

令和４年度、研究代表者は以下の研究を行った。
１）ｐを素数とする。本研究課題において扱う無限次代数体の中で、有理数体上の円分的Z_p-拡大体を考える。本年度においても引き続き、この有理数体上の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体のイデアル類群の位数（類数）に注目して研究を行った。本研究課題で取り扱う有理数体上の実アーベル拡大体の類数はその単数群と円単数群の商群の位数と関連があることが知られており、特にその部分群である相対単数群を調べることで類数のある種の非可除性についての情報を得ることができる。令和３年度においては、その方向で研究を進め、相対単数群に対し、合同式から定まる部分群列と、ガロア作用から定まる部分群列の２つの異なる部分群列を定義し、それらの部分群列に関してある種の等式が成り立つことを示した。本年度も、同じ部分群列について研究を進め、より精密な結果を得ることができた。
２）本年度は、上記の研究を他の実アーベル体上で展開すべく研究をすすめた。そのための第一歩として、ｐを４を法として１と合同な素数とし、有理数体にｐの平方根を付け加えた実アーベル体上の円分的Z_p-拡大体の場合に研究を進めた。この場合においても、上記の有理数体上の円分的Z_p-拡大体の場合と類似する現象がいくつか確認できた。これにより、相対単数群の２つの部分群列における同様の等式が成り立つことが予想されるため、そういった方向性で研究を進めている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

素数ｐに対し、有理数体上の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体の相対単数群について、その構造をより精密に記述することができた。これによりイデアル類群の位数に関する情報も得られた。また、ｐが４を法として１と合同である場合、有理数体にｐの平方根を付け加えた実アーベル体上の円分的Z_p-拡大体の相対単数及びイデアル類群の場合においても類似の結果が得られることが期待される。

Strategy for Future Research Activity

ｐを４を法として１と合同な素数とし、有理数体にｐの平方根を付け加えた実アーベル体上の円分的Z_p-拡大体の場合を考える。この場合においても有理数体上の円分的Z_p-拡大体と同様に、相対単数群の２つの部分群列においてある種の等式が成り立つことが予想されるため、それを証明する。

Causes of Carryover

申請当初に予定していた出張を行うことができなかったため、次年度使用額が生じた。
コロナの感染状況を見ながら、可能な範囲で積極的に旅費として用いたいと考えている。