アイソトロピック・グラスマン多様体のシューベルトカルキュラス

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03571
• Research Institution: International Christian University
• Principal Investigator: 松村 朝雄 国際基督教大学, 教養学部, 准教授 (80755223)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: shifted marked tableaux / flagged Q functions / Monk's formula

Outline of Annual Research Achievements

2019年度に投稿した論文「A tableau formula for vexillary Schubert polynomials in type C」の査読を受け取ったので、校正を加える作業をするとともに、結果の考察を広げた。また、上記の論文の結果をK-theoryに拡張するための新しいアプローチに取り組んだ。特に、Kirillov-NaruseによるIdCoxeter代数を使った構成から、pipe dreamによる組み合わせ論的記述を、vexillaryの場合にタブローとして理解するというアプローチである。これに関しては、計算例はたまってきたものの、具体的な成果は得られなかった。まだできることが残っているので、引き続き取り組む。この課題の発展問題として、non-maximalなアイソトロピック・グラスマン多様体のシューベルト類に対応するtheta-vexillaryの場合も、Lambert-Rabeloの最近の組み合わせ論的な結果を踏まえつつ、計算を進めた。また、新しい課題として、type Cのシューベルト（グロタンディック）多項式のMonkの公式を求める作業に取り組んだ。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

上記の業績にも書いたように、IdCoxeter代数の理解からタブロー公式を見つけていく方針は有力であるので、その方向に集中して計算を進めた。そのため、直接的にシューベルト係数を求めていく課題は後回しになった。しかし、はじめに使える手法を増やしておく戦略は無駄ではないと思われる。

Strategy for Future Research Activity

上記の業績にも書いたように、IdCoxeter代数の理解からタブロー公式を見つけていく方針は有力であるので、引き続き取り組む。non-maximalなアイソトロピック・グラスマンに関して、Lambertによる組み合わせ論的な記述の進展があったので、それを理解し、シューベルト係数を求めるために必要な組み合わせ論的な記述を開発したいと考える。

Causes of Carryover

コロナ禍で、共同研究者との打ち合わせが、ほとんどオンラインに移行したため。次年度に、コロナ感染が収束した時に、遅延した研究を集中して遂行するために、当初の予定だった研究打ち合わせをより頻繁に行う。