Integrability conditions and invariants that appear in local isometric problem of Riemannian manifolds

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03589
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: Agaoka Yoshio 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 名誉教授 (50192894)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 澁谷 一博 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (00569832) ; 奥田 隆幸 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (40725131) ; 田丸 博士 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982) ; 橋永 貴弘 佐賀大学, 教育学部, 准教授 (40772132)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 局所等長埋め込み / リーマン多様体 / ガウス方程式 / 可積分条件 / 不変式 / plethysm

Outline of Final Research Achievements

We study the problem of local isometric imbeddings of Riemannian manifolds. Especially, we completely classify left invariant Riemannian metrics on 3-dimensional Lie groups that can be locally isometrically imbedded into 4-dimensional spaces of constant curvature. In addition, we study the case of 3-dimensional Riemannian manifolds in 5-dimensional Euclidean space and 4-dimensional subspace in 6-dimensional Euclidean space, from the standpoint of representation theory. Concerning these problems, we also study the decomposition formula of plethysm, and invariants of several geometric structures.

Free Research Field

微分幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ユークリッド空間の超曲面として局所等長に埋め込めるリーマン多様体の特徴付けの問題は３次元の場合が最も難しかったわけだが、その問題が解決できたおかげで、埋め込み先の空間がユークリッド空間以外の場合にも理論を構築することができた。またローレンツ多様体で同様の問題を考える研究者も現れる等、長年に渡って手付かずの状態が続いていたこの分野への関心が高まりつつある。幾何学・偏微分方程式の問題を代数的・表現論的に考察する手法を確立した意義も大きい。