2020 Fiscal Year Research-status Report
Functional analysis approach to time evolution of graphs and its application
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20K03646
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| Research Institution | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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Principal Investigator |
瀬戸 道生 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 教授 (30398953)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 哲至 広島工業大学, 工学部, 准教授 (90543728)
細川 卓也 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 准教授 (90553579)
阿部 敏一 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 助教 (40749157)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 関数解析 / グラフ理論 / 機械学習 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 研究代表者のこれまでの研究により、二つのグラフの包含からコホモロジー空間が得られることがわかっている。本研究課題の最初の目標は、このコホモロジー空間の構造を調べることである。ところが、その計算の過程で、完全に一般的な設定ではコサイクル空間が自明になる場合があることに気づいた。従って、そうはならない非自明な場合をグラフ理論の言葉で記述する必要が出てきた。令和2年度はこの問題に取り組み解答を得ることができた。ただし、ここで得られた条件は過渡的なものである可能性があり、今後も継続して考察する予定である。
2. 研究協力者の畑中氏（東工大）、伊吹氏（明治大）とともに「機械学習のための関数解析入門」を執筆した（令和3年4月に内田老鶴圃から発刊のため「10. 研究発表 [図書]」には記載していない）。本書は理工系学部の標準的な数学の知識を前提に、関数解析の考え方とカーネル法の数学的基礎を解説した教科書である。なお、畑中、伊吹両氏は制御工学の専門家である。今回の共同作業により、研究代表者は、関数解析、制御工学、機械学習の3分野に跨る研究の端緒をつかむことができた（下記の3を参照）。
3. 2での作業の途中、関数解析側で（半正定値よりも強い）正定値カーネルの構成法に関する問題が見逃されていることに気づいた。もちろん、この問題に関しては古くからボホナーの定理が知られているが、フーリエ変換が使えない場合に新規参入の余地があるように思えた。実際、単位開円板上の正則関数の理論をもとにして、正定値カーネルが大量に構成できることを示した。機械学習で使われるカーネルの多くは多次元ユークリッド空間上で定義されるものであり、今回の成果を多変数化することで、機械学習への貢献が期待される。この成果は桑原氏（札幌静修高校）との共同研究としてまとめ、専門誌に投稿、現在査読中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画していた教科書を執筆でき、さらにそこから派生した問題に関する論文も作成することができた。一方、研究分担者と予定していた研究打ち合わせが実施できなかったため、作業が遅れている部分もある。以上を総合して、「おおむね順調に進展している」と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 令和2年度はグラフの包含について研究を進めた。令和3年度はそれを拡張し、グラフの増大列の適切なクラスを定めることを目標とする。ここでの適切性とは、本研究が対象にしているコホモロジー空間が非自明に定義されることを意味する。
2. 1 を踏まえて、グラフの増大列とグラフ自己同型群との関係を、グラフから構成されるヒルベルト空間上のユニタリ作用素の問題として調べる。特に、その際に現れる有限次元ヒルベルト空間の埋め込みの族の不変量（de Branges-Rovnyak 補空間の次元が候補である）とグラフの増大列の不変量との関係を調べる。
3. 関数解析と機械学習に関する教科書の執筆経験をもとに、グラフをベースとした機械学習への本研究の応用を考察する。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由：コロナウイルスの世界的な流行により、参加を予定していた研究集会が中止やオンライン開催になった。さらに、緊急事態宣言等の発令により、研究打ち合わせも実施できなくなった。そのため、旅費を使う機会が激減した。
次年度使用額の使用計画：令和3年度は当初計画から研究分担者を一名増員（阿部氏（茨城大））することで対処する。
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