2023 Fiscal Year Annual Research Report
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20K03650
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
三浦 毅 新潟大学, 自然科学系, 教授 (90333989)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大井 志穂 新潟大学, 自然科学系, 助教 (90891789)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 等距離写像 / isometry / Mazur-Ulam property / Tingley's problem |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度は，これまでの研究成果として「等距離写像の構造」，「Tingley問題の部分的解答」に関して顕著な結果をあげることができた．
等距離写像に関しては，単位開円板上の有界正則関数全体のなす可換Banach環に付随した，ある種のBanach空間上の全射等距離写像の構造を，線形性を仮定することなく決定することに成功した．この定理は，１９８５年に発表されたNovinger and Oberlinの結果で残されていたp=∞の場合を，等距離写像の全射性を仮定することで，線形性を仮定せずに解決したものである．有界正則関数のなす可換Banach環の極大イデアル空間の構造は非常に複雑であるが，Choquet境界の性質をうまく引き出すことにより，長年未解決であった問題の部分的解答を与えることに成功した．ここで用いられた手法を洗練させることにより，単位開円板上の正則関数で，境界上でn階連続微分可能であるものからなるBanach空間上の全射等距離写像も解明できることが明らかになった．
一方，Tingley問題に関しては，uniformly closed function algebraと呼ばれる可換Banach環について考察し，肯定的な結果が得られた．より正確に述べると，A,Bをuniformly closed function algebrasとし，S(A), S(B)をそれぞれA, Bの単位球面とする．このとき任意の全射等距離写像Δ:S(A)→S(B)は，AからBへの全射実線形等距離写像に拡張されることを示した．さらにuniformly closed function algebraとはならないBanach空間に対してもTingley問題を考察するため，連続微分可能な複素関数のなすBanach空間を抽象化し，それらの単位球面の間の全射等距離写像がBanach空間全体に拡張可能であることを証明した．このBanach空間は，Hausdorff distance conditionと呼ばれる性質をみたさないことを示すとともに，この性質を用いない証明方法によりTingley問題を解明した．
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