2021 Fiscal Year Research-status Report
A new refinement allowing infinite-order degeneration and explosion of weighted classical inequalities and its application to variational problems
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20K03670
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
堀内 利郎 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 名誉教授 (80157057)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下村 勝孝 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (00201559)
中井 英一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (60259900)
安藤 広 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (60292471)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 一般の重み付きHardy不等式 / 一般の重み付きHardy・Sobolev不等式 / 一般の重み付きCKN型不等式 / 無限次の退化や爆発する作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「重み付き古典的不等式の無限次退化や爆発を許容する新しい精密化と変分問題への応用」を中心課題とし、重み付き古典的不等式を介して有機的に関連する次の4つの研究目的を設定しているので、それぞれの研究目的に関する研究実績の概要を記述する。
1.領域の境界で無限次退化や爆発を許容する重み付き Hardy 不等式の確立と精密化の研究：1次元の場合に、一般の重みに対して片側境界条件の下でHardy不等式を構築した。この場合には重み関数が無限次の退化や爆発が許されることが証明され、さらに高次元の場合のHardy不等式に拡張された。それら結果は論文として纏められ既に発表されている。
2.領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究：1の結果可能になった研究であり、優臨界の場合の結果がまとめられた。現在論文を作成中である。
3.Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式の新しい精密化の研究：1次元の場合は無限次の退化や爆発を許す場合にもCaffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式が成立することが示された。高次元の場合を研究中であるが、無限次の退化や爆発を許す場合は、一般には不等式が成立しないことが示され非常に興味深い。現在は必要十分条件を精査中である。また、同時に最良定数の達成可能性の研究が進行中である。
4.加藤の不等式の新しい精密化とその強最大値原理への応用の研究：これまでの研究で「準線形作用素に対して境界まで込めた加藤の不等式」が確立されているので、重み付きの場合への拡張や最大値原理への応用を引き続き研究する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
理由：主に上記４つの中心的課題に関する研究を遂行しているが、それぞれの課題で進展があった。特に１番目の課題である「領域の境界で無限次退化や爆発を許容する重み付き Hardy 不等式の確立と精密化の研究」では、結果が論文として発表された、３番目の「Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式の新しい精密化の研究」では、２次元以上では無限次退化や爆発が許容出来ないことが証明され、不等式が成立するための簡潔な必要十分条件が求められた。また２番目の課題「領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究」は1の結果初めて可能になったものであり、今後の進展が十分期待できると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
順調に進展しているので、このまま研究を進める予定である。
特に２番目の課題「領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究」は1の結果において可能になったものであるので、今後の中心課題の1つである。先行結果は劣臨界かつ有限次の退化（爆発）に関するものだけであったが、昨年度は優臨界の場合の考察を本格的に始め、無限次退化や爆発を許容する場合において多くの成果が得られた。今後は, さらに結果を精査し、論文に纏め発表する予定である. また新たに指数pが１の場合の研究を関数空間の整備から本格的に始める予定である。また４番目の課題「加藤の不等式の新しい精密化とその強最大値原理への応用の研究」では、これまでの研究結果を重み付きの場合への拡張や最大値原理への応用を試みる予定である。現在は国内の研究者が中心であるが、出来れば今年度から来年度に掛けては海外の研究者と連携を本格的に開始したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
昨年度に引き続きコロナ禍のため、予定されていた国内出張、海外出張が一部を除いて延期となった。そのため次年度使用額（約５７万）が生じた。次年度の使用計画は、共同研究を国内出張、スウェーデン（Chalmers工科大学）への海外出張を中心に実施する予定である。また、共同研究者や連携研究者間における安定した遠隔会議システム構築のため、大型デスクトップ・コンピュータ、モニター、無停電ポータブル電源などの関連設備の整備を引き続き予定している。
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