2023 Fiscal Year Research-status Report
A new refinement allowing infinite-order degeneration and explosion of weighted classical inequalities and its application to variational problems
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20K03670
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
堀内 利郎 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 特命研究員 (80157057)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下村 勝孝 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (00201559)
中井 英一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 特任教授 (60259900)
安藤 広 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (60292471)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 一般の重み付きHardy不等式 / 一般の重み付きHardy・Sobolev不等式 / 一般の重み付きCKN型不等式 / 無限次の退化や爆発する作用素 / ノンダブリング・ウェイト / 一般の重み付きレリッヒ型不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
「重み付き古典的不等式の無限次退化や爆発を許容する新しい精密化と変分問題への応用」を中心課題とし、重み付き古典的不等式を介して有機的に関連する次の4つの研究目的を設定しているので、それぞれの研究目的に関する研究実績の概要を記述する。
1.領域の境界で無限次退化や爆発を許容する重み付き Hardy 不等式の確立と精密化の研究：今年度は, 様々な閉部分空間からの距離関数の重みに対して片側境界条件の下でHardy不等式考察された。この場合にも重み関数が無限次の退化や爆発が許されることが確認された。それら結果とCKN型不等式との統一が進んでいる。
2.領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究：1の結果可能になった研究であり、優臨界の場合を含む変分問題が研究された。その結果は学会等で発表され、論文掲載が確定している。
3.Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式の新しい精密化の研究：前年度に、無限次の退化や爆発を許す場合に不等式が高次元の場合を中心に研究され、その結果が論文として発表されたたのを受け、様々な閉部分空間からの距離関数の重みに対する不等式が研究された。 古典的な臨界の場合の不等式において, 始めて超対数を導入することにより、 従来の臨界概念が飛躍的に拡張された。その結果は論文に纏められた。また、p=1の場合と最良定数の達成可能性の研究結果が論文として纏められつつある。
4.加藤の不等式の新しい精密化とその強最大値原理への応用の研究：これまでの研究で「準線形作用素に対して境界まで込めた加藤の不等式」が確立されているので、重み付きの場合への拡張や最大値原理への応用を引き続き研究された。昨年度に引き続き、一般のレリッヒ型の不等式の研究が進行している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
理由：主に上記４つの中心的課題に関する研究を遂行しているが、それぞれの課題で進展があった。特に３番目の「Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式の新しい精密化の研究」においては、臨界の場合に超対数の導入により, 「臨界型」の概念自体が飛躍的に拡張され, かつ不等式が成立するための簡潔な必要十分条件が求められた。それらは既に論文として纏められている.また, p=1の場合の研究が完成しつつある。さらに２番目の課題「領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究」は1の結果初めて可能になったものであり、今後のさらなる進展が期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
順調に進展しているので、このまま研究を進める予定である。新たに、 p=1の場合の不等式の研究と,重み付きレリッヒ型不等式の研究が開始された, それぞれ順調に進んでいる。また２番目の課題「領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究」は1の結果において可能になったものであるので、今後も中心課題の1つである。今年度は優臨界の場合に、無限次退化や爆発を許容する場合において多くの成果が得られた。また４番目の課題「加藤の不等式の新しい精密化とその強最大値原理への応用の研究」では、引き続き重み付きの場合への拡張や最大値原理への応用を試みる予定である。現在は国内の研究者が中心であるが、出来れば今年度からは海外の研究者と連携を本格的に再開したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
国際状況の悪化とコロナ禍で、予定されていた国内外出張が一部延期となっているため、次年度使用額が少し生じた。次年度の使用計画には、共同研究を国内出張、スウェーデン（Chalmers工科大学）,中国(瀋陽工程大学）を中心に予定中である。また、共同研究者や連携研究者間における安定した遠隔会議システム構築のため、コンピュータ、モニター、無停電ポータブル電源などの関連設備の整備を引き続き予定している。
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