Mathematical analysis on the linear response for solutions of mean field equations

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03675
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Kanazawa University
• Principal Investigator: OHTSUKA Hiroshi 金沢大学, 数物科学系, 教授 (20342470)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 線形応答 / 点渦系 / 平均場 / 非線形楕円型方程式

Outline of Final Research Achievements

The perturbation problem and linearization problem related to the semilinear elliptic partial differential equation describing the equilibrium state of many particle systems, known as the mean-field equation, were analyzed from the perspective of the particle system. The obtained results concern the asymptotic behavior of the eigenvalues of the linearized operator for the simplified mean-field equation, known as the Gel'fand problem, with a variable-coefficient. More specifically, when the solution of the variable-coefficient Gel'fand problem is sufficiently close to an n-point blow-up, the first to n-th eigenvalues of the linearized operator are controlled by the eigenvalues of an n×n matrix determined by the Hamiltonian characterizing the blow-up. I think this result proves the universality of the previously known results for the unperturbed Gel'fand problem.”

Free Research Field

変分問題

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

平均場とは、離散的な存在である粒子系において、粒子数を無限大にした極限に現れる粒子数の連続的な分布関数のことである。本研究は、平均場に対し、粒子系に遡って摂動を加え線形応答（摂動に関する微分）を調べ、それを用いて平均場の線形応答を解析することを目的としていた。このような研究はあまり類を見ないが、無限の自由度をもつ場を扱う偏微分方程式を、より精度よく有限自由度系で近似する手法を研究するものであり、研究が進むことで、物理学や工学などの実用上の応用が拡がることが期待できると考えている。得られたことは、極限操作を保証するのに必要な情報の一部に留まっているが、着実に成果を上げられたと考えている。