2021 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis for surface waves arising from body waves and its applications
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20K03684
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
川下 和日子 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (40251029)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 表面波 / 実体波 / 逆問題 / 局所エネルギー / 境界値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、地震波や電磁波等の実体波が境界や接合面に入射することによって現れる表面波の性質について数学的に研究し、逆問題等への応用を目指すことを目的としているが、研究期間の2年目に当たる令和3年度は昨年度に続き準備段階として、実体波の入射から物質表面の情報を取り出すことについての研究を行った。
逆問題において求める情報（調査対象の内部の空洞や介在物までの距離や形状など）を引き出すためには、「指示関数」が重要な役割を果たす。指示関数のパラメーターを大きくしていった時の指示関数の漸近挙動、漸近展開から情報を引き出すのであるが、今までに主流として行われてきた研究手法においては、調査対象物における境界条件についてDirichletあるいはNeumannのいずれか一方の同質な状況であることが求められている。実際の場面においてこの状況を仮定することは望ましくないため、この研究では散乱理論においてよく用いられる漸近解(近似解)を構成し、その表示を指示関数の解析に取り入れるという方法を採用している。今までの手法で一番問題となるのは，観測点とDirichlet境界条件の対象物までの距離が、観測点とNeumann境界条件の対象物までの距離に完全に一致する場合であるが、この方法によって得られた指示関数の漸近展開の初項に着目すると、Dirichlet境界条件の対象物とNeumann境界条件の対象物の表面それぞれの表面の幾何的形状に関する値の差になって漸近展開の初項に現れることがわかった。このとき曲率の小さい方の対象物の方が最短の対象物として観測されるという結果になった。しかし令和2年度と同様、対象物表面について本来必要と思われる以上に高い「滑らかさ」を要求する状況が部分的にしか改善されておらず、解消するべき課題として引き続き残っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本年度は研究期間の2年目であるが結果として準備段階のままであり、昨年度から大きな進展はできなかった。令和2年度にオンラインで教育・研究を行うために新しいコンピュータを購入したので、年度当初、コンピュータによる数値解析を実験的に行うための勉強を始めた。Pythonの勉強や一流の研究者による講演をオンラインで聴講するなど、視野を広げる機会になった。しかし、研究の観点からすると時間を費やした割に未だに実装には及ばず、このままの継続には問題があると判断し、一旦中止することにした。機会があればまた挑戦したいが、適切な協力者を得ないと難しいと感じた。
令和2年度に続き、逆問題の観点においては、表面波ではなく実体波に対応する漸近解を用いて空洞や介在物までの距離や表面の状態を調べるという方針で考察を進めている。発射された実体波が対象物に到着して観測点に返ってくることによって情報を得るという考え方なので、表面波による逆問題にはなっていないが、周波数を固定して波を局所的に見ているという観点が将来的に表面波につながるのではと期待している。この方法の問題点として、剰余項を評価するために必要となる対象物の表面の滑らかさが高すぎるという課題が残っている。これは楕円型の境界値問題の解の境界上での評価の問題として捉えられ、特にDirichlet境界条件を与えた場所での解の微分の評価についてが、未解決の課題である。
もう一つ掲げていた表面波のエネルギー分布の観点からのアプローチについても、徐々に検討を始めているが、実体波から生じる表面波はレーリー波と比べ、表示式が格段に複雑になっているため、同じように扱うことはできない。実体波の入射角によって表面波が現れるかどうかが分かれるのであるが、その変わり目の部分の扱いが難しく、重要になることがわかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
漸近展開による方法での逆問題のアプローチについて、ある程度の段階でまとめることが急務であると考えている。先に述べたように、剰余項の処理のために、評価対象物の表面に対して必要と予想される階数よりも高い滑らかさを要求してしまう問題が残っているが、当初はこの問題の解決にここまで難航するとは予想していなかった。現在のところ、剰余項の評価について納得のいく結果は得られていないが、現在の得られているところまでで、一度まとめる必要があると考えている。その上で、次の段階としては、展開の初項だけでなくその次の項についても詳細な考察を進める、あるいは層状媒質の場合について同様な考察を行うといった方向へ進めて行きたいと考えている。また一方で、一旦逆問題から離れて表面波のエネルギー分布の観点へ立ち返るということも考えられるが、こちらの方向も難題が多く、すぐに結果が得られるような状況ではない。そこでやはり、当初の予定通り、漸近解の方法による逆問題へのアプローチという方向で、もうしばらく研究を進めて一定の結果としてまとめたい。その上で、エネルギー分布の観点についても少しずつ研究を進めて行きたいと考えている。
コロナ禍による影響は今後も不透明であるが、定着してきたオンラインによる会議・講演会参加や打ち合わせ等を今後も活用し、幅広く柔軟に情報収集ができることを期待している。また、必要に応じて適宜、これらの機器の拡充・更新、ソフトウエアの導入も行っていき、今後の研究を進めていきたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
令和3年度当初の方針としては、情報収集・整理のためのパソコン等の通信機器の準備、図書等の資料の購入および情報収集・研究交流のための旅費・謝金が必要になると考えた。令和2年度に主にコンピュータの拡充を行ったので、それによって情報収集を行うことができたが、コロナ禍もあって旅費や謝金の支出は出来なかった。また、研究の進捗状況としても遅れてしまっているため、成果報告等のための支出も令和3年度もできなかった。以上のことから、次年度使用額が生じている。
令和4年度も、新型コロナウイルスの対策は必要とされており、予断は許されない状況である。令和4年度もこれまでに準備した機器等を活用しつつ、新たに必要となる機器の拡充・更新、ソフトウエアの導入も行っていきたい。その中で、まずは現在の手法による研究を論文の形にまとめて発表し、次の段階へと研究を進めていきたいと考えている。
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Research Products
(1 results)
