Symmetry and asymmetry of solutions for the elliptic partial differential equations.

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03686
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Osaka Electro-Communication University (2022-2023); Saga University (2020-2021)
• Principal Investigator: Kajikiya Ryuji 大阪電気通信大学, 共通教育機構, 教授 (10183261)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田中 敏 東北大学, 理学研究科, 教授 (90331959)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 対称解 / 非対称解 / 解の分岐 / 変分法

Outline of Final Research Achievements

We consider the Moore-Nehari ordinary differential equation under the Dirichlet boundary condition in the interval (-1,1). We prove the existence of a solution which has exactly m zeros in the interval (-1,0) and exactly n zeros in (0,1) for given nonnegative integers m and n. For a non-negative integer n, we call a solution u(x) n-nodal if it has exactly n zeros in (-1,1). We call a solution symmetric if it is even or odd. For each n, the equation has a unique n-nodal symmetric solution, which is a continuous curve. We prove that the curve bifurcates and an asymmetric solution emanates.

Free Research Field

楕円型偏微分方程式

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

対称な解の存在および非対称な解の存在は, 楕円型偏微分方程式の解空間の構造を理解する上で非常に重要なことである. 零点を持つ対称解や非対称解の研究はあまり行われていない. 本研究では, これらの解の詳細な情報を得ている. 特に, 与えられた非負整数の組(m,n)に対して, 区間(-1,0)にちょうどm個の零点を持ち, 区間(0,1)にちょうどn個の零点を持つ解の存在は, 現在までに知られていなかったものであり, 本研究は独創的な研究である. さらに, 零点を持つ対称解から非対称解が分岐する研究は, 本研究以外には行われていないと思われる.