2021 Fiscal Year Research-status Report
Research on variational problems for the functionals with variable exponents
| Project/Area Number |
20K03707
|
|---|
| Research Institution | Tokyo University of Science |
|---|
Principal Investigator |
立川 篤 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (50188257)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
|
| Keywords | 変分問題 / 弱解の正則性 / double phase / p(x)-growth |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
2020度に引き続き，double phaseタイプと呼ばれるタイプで，さらに変動する指数を持つタイプの汎関数の最小点を与える写像の正則性に関して研究を進めている．具体的には，(|Du|のp(x)乘）＋a(x)|Du|のq（x）乘もしくは(|Du|のp(x)乘）＋a(x)(|Du|のp(x)乘)log(1+|Du|)の積分で与えられるタイプの汎関数を扱っている．ここで，Duはm-次元ユークリッド空間の有界領域Ω上で定義されｎ次元ユークリッド空間に値を持つ未知関数uの微分，p(x), q(x), a(x)はいずれもΩ上で定義された連続関数で，q(x)は各点でp(x)以上，p(x)は１より真に大きく，a(x)は０以上の値を取る関数とする．以下，前者をp(x)-q(x)タイプ，後者をp(x)-p(x)logタイプと呼ぶ．
2020年度よりRagusa（Catania大）との共同研究でp(x)-p(x)logタイプの汎関数の最小値を与える写像の正則性を研究する予定であったが，コロナ禍のため出張・招聘が叶わず，研究を中断していた．しかし，2021年度は多少研究をすすめることができ，未知関数のヘルダー連続性までは得られた．今後，未知関数の偏導関数のヘルダー連続性まで得られれば，論文として発表する．
また，立川が単独で進めていたp(x)-q(x)タイプの汎関数の最小点に対する定義域Ωの境界上での正則性の問題に関してはすでに結果を得ていたが，その結果は2021年４月にJournal of Mathematical Analysis and Applicationsに掲載された．また，2021年8月に開催された「第46回偏微分方程式札幌シンポジウム」においてこの結果を報告した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2020年度同様，コロナ禍の影響で海外出張，外国人招聘もできなかったため共同研究者・Maria Alessandra Ragusa （カターニア大・イタリア）と研究連絡もままならず，思うように研究を発展させることができなかった．なんとか多少の進展はみられたものの，直接あって議論できないことは私の研究では極めて大きな制約である
|
| Strategy for Future Research Activity |
私の研究では，共同研究者たちと直接会って意見交換・討議することが重要で，海外との行き来が２年間も制限されている現状は非常に困難な状況である．
zoomを利用しての研究連絡・議論はそもそも靴掻痒の感を免れ得ないうえ，時差の関係もあり，十分に機能したとは言い難い．2022年度は１日も早い交流の再開を期待しつつ，当面はzoomによる研究連絡・議論を充実させていきたい．更に，外国人招聘もできるようになれば，関係する研究者を招いて，小規模な研究集会を開催し，研究の活性化を図ることも考えている．
また，交流に左右されない単独での研究にもより力を入れていきたい．具体的には，境界上(|Du|のp乗）＋a(x)(|Du|のp乘)log(1+|Du|)の積分で与えられる汎関数の最小値を与える関数の境界上での正則性について研究する予定である．
|
| Causes of Carryover |
本研究課題では，海外の共同研究者との研究打ち合わせが極めて重要で，そもそも申請時の予算において旅費が大きな割合を占めていた．しかし，コロナ禍により，海外出張が不可能な状態となり，2020年度, 2021年度ともに予算を使い切れず，かなりの次年度使用額が生じてしまった．
使用計画としては，海外出張ができる状況になれば，これまでの研究の遅れを取り戻すべく，海外出張を再開する予定である.さらには，関係する外国人研究者を招聘し．小規模な研究集会を開くなどして，研究の活性化を図りたい．
|
