2020 Fiscal Year Research-status Report

閉曲面上のグラフの生成定理と局所変形理論の融合的研究

Research Project

Project/Area Number	20K03714
Research Institution	Niigata University
Principal Investigator	鈴木有祐新潟大学, 自然科学系, 准教授 (10390402)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2023-03-31
Keywords	偶三角形分割 / 四角形分割 / 多面体的グラフ / 縮約操作 / 既約グラフ
Outline of Annual Research Achievements	射影平面上の単純偶三角形分割に対してQ_4-縮約という縮小操作を導入し，その結果得られる既約グラフ（Q_4-既約と呼ぶ）を分類した結果をまとめた論文を執筆し，離散数学の専門誌に投稿した．（Q_4-縮約は組合せトポロジー分野でも重要な変形操作であり，basic cross flipもしくはbalanced transformationと呼ばれる変形の一部となっている．）その論文のイントロダクションにおいては，様々な縮約操作の組み合わせによって得られる既約グラフに関する既存の結果を，それらのグラフの有限性に着目して分類しまとめた．（つまり，我々が科研費申請時に掲げた研究目標を一部達成したことになる．）また，射影平面上のQ_4-既約偶三角形分割はグラフの無限系列として表現されるが，それらのグラフは共通して“Projective-triangular cupola”と名付けた部分グラフを含んでおり，その構造は明確に特定されている．さらにP_4-縮約という縮小操作を導入することにより，2個の具体的な（(P_4, Q_4)-既約）グラフを得ることができるが，これは以前の研究で分類した(P,Q)-既約偶三角形分割のそれと完全に一致している．実際，球面上の偶三角形分割に対しても同様の事実を確認することができる．しかし，それ以外の閉曲面に対しては，簡単に（P_4, Q_4)-既約偶三角形分割の無限系列を作ることができるので，上記と同様の事実は成立しない．（「任意の閉曲面に対して(P,Q)-既約偶三角形分割は有限個である」という結果が存在する．）さらに，一般の閉曲面上の多面体的四角形分割に対しても8個の縮約操作を導入し，これらを用いて得れる既約グラフが有限個になることを証明することに成功した．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 科研費申請時に具体的な目標として掲げていた「“良い”生成定理に関する研究」を部分的に進展させることができた．射影平面上の(P_4,Q_4)-既約偶三角形を分類した論文の執筆に際しては，“finitizable”という新たな用語を定義し，その視点で既存の結果を分類できたことに意義があると考えている．論文をまとめる際，当初の証明の細かい議論を多数修正する必要があったが，全体としてはスムースに執筆を完了させることができた．また，一般の閉曲面上の多面体的四角形分割を有限個の既約グラフにするために必要な縮約操作に関する議論を行い，8個の縮約操作が必要かつ十分であることを証明することができた．（当初は7個と予想していたが，証明の細部を詰めていく過程で8個目の縮約操作を発見することができている．）これらの議論は短いものではないが，今後，論文の執筆を開始し，同時に議論を簡潔にすべく証明をつめていく作業を行う．また，「Izmestiev等の結果の四角形分割への拡張」に関しては，多くの絵を描き，用いる変形の特徴をつかみ始めた段階である．「例外的3-染色的三角形分割の構造の特定」に関しては未着手であるが，適当なタイミングで研究を開始したいと考えている．これらの状況を総合的に判断し，「おおむね順調に進展している。」という判断をした．
Strategy for Future Research Activity	射影平面上の(P_4,Q_4)-既約偶三角形に関しては，論文を執筆する過程で浮上した以下の新たな問題に関して議論を進めていく．同様の問題をトーラス上で考える際，6-正則三角形分割に対してはP_4-縮約もQ_4-縮約も行うことができない．すなわち，トーラス上の(P_4,Q_4)-既約偶三角形が無限個存在するという事実がただちにわかる．そのため，操作の条件を弱めることで得られる(P,Q)-既約グラフを考えるのが無難と思われるが，未だにその構造を把握できていない．そこで，手始めに6-正則(P,Q)-既約グラフを列挙すべく議論を進める．また，「球面もしくは射影平面上の任意の偶三角形分割は，P_4-縮約を複数回施した後，Q_4-縮約を複数回施すことで(P_4,Q_4)-既約偶三角形に到達可能である」という事実が，我々の示した結果より直ちにわかる．この事実が，一般の閉曲面上の偶三角形分割に対して成り立つのかという問題を解決すべく議論を開始する．これらの問題や閉曲面上の多面体的四角形分割に関しては，多くの情報をもつ横浜国立大学の研究グループとオンラインで連絡を取りながら研究を進めていく．さらに，Izmestiev等の結果を閉曲面上の四角形分割に拡張すべく議論を開始する．四角形分割に対しては，正六面体グラフを張り合わせる方法は4通り（逆操作も合わせて1通りと数える）に分類される．これらの変形の特徴を探りつつ，まずは全ての変形を用いて偶三角形分割と同様の事実，すなわち「ある閉曲面上の2つの多面体的四角形分割は正六面体グラフの張り合わせを繰り返すことで，多面体性を保ちながら互いに移り合う」を証明すべく議論を開始する．その後，用いた変形の必要性に関する議論を行う．（高次元の問題にも詳しい早稲田大学の村井氏に相談をしながら議論を進めていく．）
Causes of Carryover	長引くコロナ禍で，予定していた国内外の研究会に参加することができていない．そのため，旅費として計上していた経費を消化できていない状況である．その代わりに，他の研究者との連携をスムースに行うためのパソコンや通信に必要な周辺機器などを購入しオンライン環境を整えている．2020年度はこれらの機器を用いて，国内の研究集会における情報収集や論文の執筆などを中心に研究活動を行った．今後も，必要な機器を充実させ刻一刻と変化する状況に対応していく．2021年度前半も，コロナ禍は継続している状況である．そのため，引き続き，個人及び自身の研究室に所属する大学院生との研究推進及び，オンラインによる情報収集，共同研究を推進していく．2021年度後半は，移動が可能な状況になっていれば，現在国内のグラフ理論の拠点である横浜国立大学及び慶應大学で行われるセミナー等に参加し，その時点で我々が得ている研究成果を発表する予定である．また，閉曲面上の三角形分割や四角形分割の知識を多く持つ東京理科大学の野口氏，慶應大学の松本氏等の勤務地に赴き，研究成果を報告するとともにその内容に関するアドバイスなどをもらうことを考えている．