2021 Fiscal Year Research-status Report
閉曲面上のグラフの生成定理と局所変形理論の融合的研究
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20K03714
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
鈴木 有祐 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (10390402)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 四角形分割 / 多面体的グラフ / 縮約操作 / 既約グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
閉曲面上に埋め込まれたグラフが3-連結かつ3-representativeという条件を満たすとき，そのグラフは多面体的であると呼ばれる．球面上の多面体的グラフとしては5個の正多面体が有名であり一般によく知られた図形である．（球面上では上記の“3-representative”という条件が定義できないため，単に3-連結なものを考えればよい．）球面上の3-連結グラフに関しては多くの議論が存在するが，一般的に“良い”埋め込みとされていながら他の閉曲面上の（三角形分割以外の）多面体的グラフに関する具体的な結果は少ない．そこで我々は，一般の閉曲面上の多面体的四角形分割に焦点を絞って研究を行い，既約なグラフを有限個にするための縮小操作を8個に特定した．今年度はこの議論に関する論文の最終的な確認及びまとめを行った．（グラフ理論の専門誌への掲載が決定している．）
また，閉曲面上の四角形分割に正六面体グラフを張り合わせることでその表面に現れるグラフをもとのグラフから局所変形によって得られたものと考え，それらの変形で与えられた2つのグラフが互いに移り合うかどうかという問題を考えた．手始めに情報を収集してみると，既に海外の研究者による結果が存在するという事実がわかったが，この論文を注意深く読み進めると書かれている内容に誤りがあることがわかった．（論文の著者ともコンタクトを取りその事実を確認済みである．）我々は，その誤りを正し，また，これらの結果を一般の閉曲面上の多面体的四角形分割に拡張することに成功した．また，変形操作の必要性に関する議論も行った．この結果を国内で行われた研究集会で発表し，他の研究者から得た意見をもとに研究を継続している状況である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般の閉曲面上の多面体的四角形分割の生成定理に関しては,当初7個と予想していた縮小操作が実際は8個必要であることがわかり議論の大幅な変更が必要となった．しかし，その問題点に気づいたおかげで多面体的四角形分割のより本質的な構造に気づき，論文全体の議論をスマートなものに改良することができた．専門誌のレフリーの反応も非常に良好で，論文掲載の決定までに要した時間も短かかった．論文をまとめる過程で得られた新たな問題（射影平面及びトーラス上の具体的な既約グラフの決定等）に対しては，時期を見て研究をスタートさせたいと考えている．
四角形分割の変形問題に関しては，まだ研究が始まったばかりであり，現在得られている結果が最善のものなのかどうかがわかっていない．（例えば，現時点ではグラフが移り合うために非常の多くの変形を用いているが，本当にそのように多くの変形が必要なのか？という問題など．）今後も研究を継続し，まずは論文として発表可能なレベルの結果としてまとめることを目標とする．
例外的3-染色的三角形分割の特定に関しては，2022年3月の段階では関連する研究結果を再確認している状況であったが，2022年4月から大学院に入学した学生と共に本格的に研究をスタートさせている．
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| Strategy for Future Research Activity |
一般の閉曲面上の多面体的四角形分割の生成定理に関する研究では，その結果を論文にまとめる際にいくらかの新たな問題を得ることができている．手始めに我々が用いた8個の変形を用いて，射影平面上の有限個の既約多面体的四角形分割を得るべく研究を進める．（8個のうち3個の変形を用いた既存の結果も存在するが，それはある既約グラフの無限系列を含んでいる．）単に結果を得るだけではなく，既に得られている（定理や）補題を我々が使いやすいように改良し，短い証明を与えることができるのではないかと予想している．さらにその際得られた補題などを用いて，トーラス上の具体的な有限個の既約四角形分割を得ることを目標に研究を進める．閉曲面上の四角形分割に関して豊富な知識を持つ横浜国立大学の中本教授に意見を聞きながら研究を進めていく．
四角形分割の変形問題に関してはまだまだ未知な部分が多い．海外の研究者による既存の結果においては，我々近辺の研究者が用いるものと若干異なる定義等を使って議論が行われているため，まずは関連する論文及び必要な書籍などを手に入れその内容をよく理解する必要がある．それらの論文の著者の1人であるFunar氏とはすでにメールにて連絡を取り合っており，自身の今後の研究結果も報告してそれに関するレビューをもらう予定である．
例外的3-染色的三角形分割の特定に関しては，共同研究者である早稲田大学の村井氏と連携しつつ研究を推進していく．
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| Causes of Carryover |
（引き続くコロナ禍により）社会の状況が未だ改善せず，予定していた国内外の研究会に参加することができていない．そのため，旅費として計上していた経費を消化できていない状況である．その代わりに，他の研究者との連携をスムースに行うためのパソコンや通信に必要な周辺機器などを購入しオンライン環境を整えている．2021年度もこれらの機器を用いて，国内の研究集会における講演及び情報収集，論文の執筆などを中心に研究活動を行った．今後も，必要な機器を充実させ刻一刻と変化する状況に対応していく．
2022年度前半もコロナ禍は継続している状況である．そのため，引き続き，個人及び自身の研究室に所属する大学院生との研究，オンラインによる情報収集及び共同研究を推進していく．2022年度中盤以降は，移動が可能な状況になっていれば，主に国内のグラフ理論の研究集会に参加し，その時点で我々が得ている研究成果を発表する予定である．また，当該研究分野の拠点である横浜国立大学にて閉曲面上の三角形分割や四角形分割の知識豊富に持つ，中本氏，小関氏の研究グループとコンタクトを取り，研究結果に対するアドバイスなどをもらうことを考えている．
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Research Products
(5 results)
