2021 Fiscal Year Research-status Report
偏微分方程式と有限要素近似に関する精度保証付き数値計算法の発展とその自動化の研究
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20K03752
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
木村 拓馬 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (60581618)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 数値解析 / 微分方程式 / 有限要素法 / 発展方程式 / 数値計算 / 誤差評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，偏微分方程式の厳密解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を，計算機を用いて自動的に求める精度保証付き数値計算法の研究を行うものである．
今年度は，主に時間発展をともなう放物型偏微分方程式の周期境界値問題を対象とし，「基本解行列の厳密計算を応用した偏微分方程式の解の存在証明手法の改良」「解の存在証明とともに有限要素近似解の誤差評価も行う手法の導出」を目標として研究を行った．
まず，基本解行列の厳密計算を応用した偏微分方程式の解の存在証明手法の改良について，論文一篇が国際的な査読付き学術誌“Computational Methods in Applied Mathematics”に掲載受理された．これは既知の手法よりシンプルかつ精度が良いことが理論的にいえるような誤差評価式と，ある時刻における誤差のノルム評価という意味での pointwise な誤差評価式を導出し，いくつかの例について既知の手法との比較を行う数値実験を行ったものであり，昨年度までの成果に若干の修正を加えている．
また，解の存在証明とともに有限要素近似解の誤差評価も行う手法の導出について，前年度より継続して，空間方向の離散化は有限要素法のまま，時間方向の離散化に有限要素法やフーリエ展開を用いる誤差評価法について研究を進めている．これは理論部分については概ねできており，具体的な有用性を示すための数値実験を進めている．基本解行列を用いた手法を非線形の時間周期問題に応用する際に精度が良くない場合があったため，時間方向の離散化を変更することで改善を目指している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず，【研究実績の概要】に記したように，本研究課題の目標のひとつである「基本解行列の厳密計算を応用した偏微分方程式の解の存在証明手法の改良」については，関連する論文一篇が国際的な査読付き学術誌に掲載受理される等の成果が得られている．
そして，もうひとつの目標である「解の存在証明とともに有限要素近似解の誤差評価も行う手法の導出」についても，新たな手法でありまたコロナ対策等によりまとまった時間が確保できないこともあり数値実験がなかなか進まない状況にあったため論文等の成果物は公表できていないが，研究自体は進展している．
よって当初の計画以上とは言えないが進展はしており，遅れているとも言い切れない状況にあるため「おおむね順調に進展している」の区分とする．
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は，二つ目の目標である「解の存在証明とともに有限要素近似解の誤差評価も行う手法の導出」について論文の投稿をめざす．
まずは線形問題について【研究実績の概要】に述べたフーリエ展開を用いた手法について論文を投稿する．
そして，線形放物型偏微分方程式について得られた事前誤差評価を応用した非線形方程式の検証を検討する．初期値問題を対象とした先行研究を参考に，線形化された残差方程式を導出し，数値解を中心とした不動点形式をゼロ付近に不動点があるような形式に書き換え，不動点定理が成立するボールの半径が満たすべき条件式を導出し，その精度保証付き数値計算を行う．
また，その他の形式の方程式への拡張や高精度化など，本研究の成果の応用についても検討したい．特に，右辺の高階導関数を用いた高精度化や，オーダー最良な誤差評価についても検討したい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により対面参加を予定していた学会がオンライン開催になる等の理由で旅費の使用に支障があったため，既受領額累計の約3％にあたる80,970円の次年度使用額が生じた．
次年度使用額は国際会議・学会等の参加費や旅費に使用する．
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