Numerical Verification Methods for the Finite Element Approximation of Partial Differential Equations

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K03752
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12040:Applied mathematics and statistics-related
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: Kimura Takuma 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (60581618)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / 有限要素法 / 微分方程式 / 発展方程式 / 誤差評価 / 数値的検証法 / 数値計算 / 数値解析

Outline of Final Research Achievements

This research aims to develop new numerical verification methods for solutions of partial differential equations. The study has a primary focus on the periodic boundary value problems of parabolic partial differential equations with the time evolution. We have developed constructive a priori error estimates for a fully discrete numerical solution of the heat equation, which refine our previous work through the application of the exact computation of the fundamental solution.
Additionally, we have established constructive error estimates for a full-discretized periodic solution of heat equation by spatial finite-element and time spectral method.

Free Research Field

応用数学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

計算機を用いた数値計算は非常に有用であるが，しかし一般に，数値計算によって得られる計算結果は誤差を含む．そこで，その精度を計算機を用いて検証する手法が活発に研究されている．
本研究で扱う有限要素法などの離散化手法は，学術研究だけでなく産業や経済などの多くの問題にも広く応用可能と考えられる．
本研究の成果は，有限要素法などを用いて微分方程式の解を数値計算する際の誤差評価を計算機自身が行うものであり，計算機による計算結果に信頼性を与える精度保証付き数値計算法の適用範囲の拡大につながり，計算機技術の更なる発展へ寄与できる成果といえる．