2023 Fiscal Year Annual Research Report
Study on algorithms of numerical methods for large scale nonlinear optimization problems and their implementation
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20K11698
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
矢部 博 東京理科大学, データサイエンスセンター, 教授 (90158056)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
成島 康史 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (70453842)
中山 舜民 電気通信大学, i－パワードエネルギー・システム研究センター, 助教 (90847196)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非線形最適化 / 無制約最小化問題 / 制約条件付き最小化問題 / ２次の最適性条件 / 準ニュートン法 / 近接勾配法 / 多様体上の最適化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形最適化問題に対する数値解法について以下の通り研究した。研究成果の一部は国際会議、日本オペレーションズ・リサーチ学会、日本応用数理学会、研究集会（京都大学数理解析研究所）等で発表した。また、研究成果が学術論文誌等に掲載された。
（１）平滑な関数と非平滑な真凸関数の和で表現されるような目的関数を持つ無制約最適化問題に対するニュートン型近接勾配法を取り扱った。本研究では，平滑関数のヘッセ行列が計算が容易な項と計算が困難な項の和で表されるような特別な構造をもった場合を考えた。たとえば、平滑関数の部分が非線形最小二乗問題で表されるような問題が代表的である。こうしたヘッセ行列の構造を利用して、構造化準ニュートン法の更新公式である構造化Broyden 公式族に基づいたニュートン型近接勾配法を提案し、その大域的収束性および局所的収束性について議論した。また、数値実験を通して提案アルゴリズムの有効性を検証した。
（２）目的関数が滑らかな関数と非平滑なD.C.関数の和で表されるような最適化問題に対して、近接D.C.アルゴリズムと非厳密近接アルゴリズムとを組み合わせた準ニュートン型近接勾配法を提案した。具体的には、スケーリング付き近接写像としてメモリーレス準ニュートン行列を使用して計算効率を高めた。そして提案アルゴリズムの大域的な収束性を証明するとともに、数値実験によってその有効性を検証した。
（３）制約条件付き最適化問題に対して、ラグランジュ関数の射影ヘッセ行列の負の曲率方向を利用することによって最適性の２次の必要条件を満たす点への収束性を保証する信頼領域逐次２次計画法を提案した。このアルゴリズムは、各反復において凸２次計画部分問題とそれから得られる有効制約に基づいた連立１次方程式を解く部分問題という２種類の部分問題を解くことが特徴的である。
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