McKay correspondence and its expansion from the viewpoint of cluster theory

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K14279
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: Nakajima Yusuke 京都産業大学, 理学部, 助教 (20783096)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: クレパント特異点解消 / 非可換クレパント特異点解消 / マッカイ対応 / ダイマー模型 / 団理論・団傾理論 / 変異 / トーリック特異点 / 安定性条件

Outline of Final Research Achievements

When we extend the classical McKay correspondence, some representation theoretic objects such as non-commutative crepant resolutions and cluster tilting modules appear. For these objects, we can define an operation called "mutation", which reveals connections with the theory of cluster algebras. In this study, we focused on mutations of some objects associated with toric singularities/varieties, and observed their underlying cluster structures and the relationships with the McKay correspondence.
The main results are as follows: (1) Establishment of the operation "deformation of dimer models" that induces the combinatorial mutation of polygons (2) Investigation of the relationship between toric degenerations of Grassmannians and combinatorial mutations (3) Clarification of stability conditions that give crepant resolutions of toric cDV singularities and their connection to zigzag paths on a dimer model.

Free Research Field

環論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

本研究のトピックのひとつである「マッカイ対応」の発見以来、マッカイ対応を通じて様々な分野の関係性が見出されてきた。その関係性は新たな研究視点をもたらし、代数幾何・環論・表現論などの分野の発展につながっている。本研究で注目した「団理論」も同様に、複数の分野の背後に隠れている共通の構造を見出すものであり、分野の垣根を超えた研究が進んでいる。
本研究においては、マッカイ対応、団理論に関わる新たな研究成果を上げており、その成果は関連分野の研究に大きく寄与すると考える。また、本研究に現れるダイマー模型は、超弦理論・ミラー対称性といった物理学に関わる話題との親和性も高く、研究のさらなる広がりが見込まれる。