2020 Fiscal Year Research-status Report
遠アーベル幾何と双曲的曲線のモジュライスタックの幾何学的外モノドロミー表現
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20K14290
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
飯島 優 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (00781197)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 双曲的曲線 / 双曲的曲線のモジュライスタック / 普遍外モノドロミー表現 / 双曲的曲線の配置空間 / 写像類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に次の二つの成果を得た：
（１）得られていた双曲的曲線のモジュライスタックの普遍外モノドロミー表現に対する幾何学的グロタンディーク予想に関する結果を精査したところ、その結果から向き付け可能双曲的開曲面の写像類群の開曲面の位相的基本群（=自由群）の外部自己同形群における中心化群が計算できることが確認できた。閉曲面の場合と比べて、開曲面の写像類群と位相的基本群の外部自己同形群の差は大きいので、幾何学的グロタンディーク予想の応用として興味深いと思われる。普遍外モノドロミー表現に関する幾何学的グロタンディーク予想に関する結果と、今回得られた写像類群の中心化群の計算結果を合わせたプレプリントを作成し投稿した。
（２）双曲的曲線の配置空間のコンパクト化に関連して表れる安定曲線の基本群の構造を調べることにより、カスプの数がある程度大きいアフィン双曲的曲線の配置空間の外モノドロミー表現の像の中心化群の元がファイバーの基本群のカスプ惰性群の共役類の集合を保つことを確かめた。この結果と星裕一郎氏と望月新一氏による配置空間の外モノドロミー表現に対する幾何学的グロタンディーク予想に関する結果とを合わせることで、カスプの数がある程度大きいアフィン双曲的曲線の配置空間の外モノドロミー表現に対するカスプに関する条件なしの幾何学的グロタンディーク予想が得られる。これは（１）の双曲的曲線のモジュライスタックの普遍外モノドロミー表現に関する幾何学的グロタンディーク予想に関する結果の部分的な一般化になっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モノドロミー充満な双曲的曲線の判定や一点抜き楕円曲線のモジュライスタックの普遍外モノドロミー表現の像の中心化群の計算については想定より解決のための時間がかかっているが、代わりに写像類群の中心化群の計算成果や像の大きさが小さいため双曲的曲線のモジュライスタックに比べて困難と想定していた双曲的曲線の配置空間の外モノドロミー表現の像の中心化群に関する結果が比較的緩い条件下で確かめられるなど本研究課題に関する成果が得られたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
モノドロミー充満な双曲的曲線の研究や一点抜き楕円曲線のモジュライスタックの普遍外モノドロミー表現の像の中心化群の計算に関する研究を進める。特に、一点抜き楕円曲線のモジュライスタックの普遍外モノドロミー表現の像の中心化群の計算については、より純組み合わせ群論的な問題を考察する必要があると思われるので、その点をより重視しつつ研究を進める。また配置空間の外モノドロミー表現に対する幾何学的グロタンディーク予想については今必要となっている仮定をどれだけ緩められるかについても研究を進める。
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| Causes of Carryover |
研究費から多くの支出を予定していた2020年度の遠アーベル幾何関係の国際研究集会等、参加予定だった多くの研究集会が2021年度に延期となったため。繰越分は、遠アーベル幾何関係の国際研究集会等の2021年度に延期された研究集会において、対面で参加できる場合はその出張費に用いる。また、2021年度に延期されたものを含む今年度の研究集会の内、オンライン開催もしくはオンラインと対面とのハイブリッド開催になるものも多いと思われるため、オンライン講演を円滑に行うための備品購入にも用いる。
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