Visible Actions on Complex Spherical Varieties and Applications to Branching Rules of Group Representations

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K14305
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Tanaka Yuichiro 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (70780063)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: Lie群 / 可視的作用 / 無重複表現 / コホモロジー

Outline of Final Research Achievements

A representation is a linear action of a group on a vector space, and it is multiplicity-free if any constituent appears at most once in its irreducible decomposition. With the aim of uniform treatment of multiplicity-free representations of Lie groups, T. Kobayashi introduced the theory of visible actions on complex manifolds. This research shows that the visibility of actions of compact Lie groups implies that of non-compact Lie groups, and further, that the visibility implies the multiplicity-freeness of the Dolbeault cohomology space of a line bundle on an elliptic orbit.

Free Research Field

表現論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

群の線型空間への線型な作用を表現といいます。Lie群の表現の無重複性を統一的に扱うことを目的として、複素多様体に対する可視的な作用の理論が小林俊行氏によって導入されました。本研究により、コンパクトLie群の可視的作用から非コンパクトLie群のそれが得られることが分かり、さらに、群作用の可視性から楕円型軌道上の同変正則線束のDolbeaultコホモロジー空間の無重複性が従うことが分かりました。特に後者の結果は、小林氏が10年以上前に提示していた問題を肯定的に解決しています。