Geometric characterization of nonlinear metric spaces

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K14333
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Niigata Institute of Technology
• Principal Investigator: Tomizawa Yukino 新潟工科大学, 工学部, 講師 (10809403)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: Busemann 空間 / 一様凸性 / 弱一様凸性 / 凸結合 / 幾何学的性質

Outline of Final Research Achievements

The purpose of this study is to characterize convexity in complete Busemann spaces, which are geodesic spaces with non-positive curves. In response, I was able to prove three propositions:
(1) One property of the modulus of convexity associated with the concept of uniform convexity in Banach spaces can be generalized to complete Busemann spaces. (2) In complete Busemann spaces, the uniform convexity is equivalent to an inequality containing 2-power mean related to distances between three points. (3) In complete Busemann spaces with the geodesic extension property, the weak uniform convexity is equivalent to an inequality containing p-power mean related to distances between three points.

Free Research Field

函数解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

1930年代から発展してきた Banach 空間の幾何学は、関数解析学の小分野の一つであり、他分野でも応用されている有用な理論体系である。また近年、最適化問題の計算などで非線形な距離を持つ距離空間が扱われるようになり、その幾何学的性質が重要視されている。しかしながら、非線形な距離を持つ距離空間の幾何学的性質を数値で表すという試みは、本研究以前には例がなかった。
本研究成果は空間の性質の新しい分類法を与え、将来的には他分野への応用に繋がるなどの展望がある。本研究の位置付けは、既存の「Banach 空間の幾何学」をより一般化するものであり、かつ他分野へ応用できる距離空間の基礎的知見を得ることである。