2012 Fiscal Year Annual Research Report
グラフィクスとカンドル理論の観点からの４次元トポロジーの研究
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21340015
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
鎌田 聖一 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60254380)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
作間 誠 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30178602)
島田 伊知朗 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10235616)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | グラフィクス / チャート / カンドル / 結び目 / 曲面結び目 / レフシェツ・ファイバー束 / ４次元トポロジー |
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| Research Abstract |
高い種数のレフシェツ・ファイバー束の研究にグラフィクス（チャート表示法）を用いる研究を行った。一般のレフシェツ・ファイバー束では取扱が複雑なため、超楕円的レフシェツ・ファイバー束に関してそのモノドロミーを表すチャート表示法を与えることに成功した。定義に用いる頂点の条件が簡単で利用しやすいことが特徴である。基本となる超楕円的レフシェツ・ファイバー束をリストアップし、ファイバー和に関する安定化の研究を行った。関連する研究者と論文の形にまとめた。もう少し検討を重ねた上で次年度（最終年度）に学術雑誌へ投稿予定である。
２次元ブレイドのチャート表示に関しては、２重点を許容する特異２次元ブレイドについて非単純な場合のチャート表示に関する研究を行った。特に「正則」な特異２次元ブレイドに対して、それを表すための特別なチャート表示（正則表示と呼ぶ）を与えて変形理論を構成した。同値な正則特異２次元ブレイドを表す２つの正則チャートはある基本変形の列で移り合うことを示した。この結果について平成２４年１月に群馬大学で開催された研究集会で口頭発表を行った。
３次元多様体が３次元球面の絡み目に沿った分岐被覆で表示できる。その際に、絡み目の補空間の基本群から対称群への表現であるモノドロミーが使われる。これをブレイド群へ持ち上げることで３次元多様体の５次元球面への埋め込みやはめ込みを構成する手法を開発し、平成２４年１２月にジョージワシントン大学で開催された国際研究集会で発表した。
平成２４年５月に京都大学数理解析研究所で低次元トポロジーに関する研究集会「Intelligence of Low Dimensional Topology」を組織委員として、平成２４年１１月に広島大学で研究集会「４次元トポロジー」を組織委員・世話人として開催し、４次元トポロジーの意見交換を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
種数２のレフシェツ・ファイバー束のチャート表示の研究成果を応用して、超楕円的レフシェツ・ファイバー束のチャート表示を構成できたことは順調である。研究目的であるチャートを用いた４次元トポロジーの主要部分の１つである。
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| Strategy for Future Research Activity |
正則な特異２次元ブレイドを表す正則チャートに関して、その幾何的な意味付けを行う必要がある。３次元空間への射影図の特異点集合とチャートが対応することが期待されるので、その方面からの意味付けが期待される。
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