有限群の特徴を反映する集合と群の構造の研究

2009 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21540022
• Research Institution: Kumamoto University
• Principal Investigator: 千吉良 直紀 Kumamoto University, 自然科学研究科, 准教授 (40292073)
• Keywords: 代数学 / 有限群 / 群上の方程式 / 組合せ構造

Research Abstract

研究実績は以下のとおりである。
1. 有限群の特徴を表す集合としてある関数の逆像について考える。特に有限群G上の2変数関数f(x,y)=y^<‐1>[xy<‐1>x^<-1>,x^<‐1>yx]およびその変形について考察を行った。
この関数の単位元に関する逆像について、|f^<-1>(1)|≧|G|であること、また可解群であるときには|f^<‐1>(1)|=|G|であること、さらには|f^<‐1>(1)|>|G|であればGは偶数位数であることがこれまでの研究で分かっている。これらの考察からもわかるようにこの写像は群の可解性についての情報を記述できる良い関数であると思われる。
奇数位数の群の可解性の証明において、最も某本的かつ重要な群としてCA群と呼ばれるクラスがある。このCA群というクラスは非可換群にも存在し、それはPSL(2, 2^n)である。このCA群というクラスの群を考察することにより奇数位数の可解性の証明のように関数fと群の特徴を関運を明らかにすることができると思われる。
そこで非可換CA群であるPSL(2, 2^n)においてf(x,y)=1の解集合を考察し、正確に記述した。具体的には各共役類の代表元となるyの行列に対してその相棒となるxを正確に記述した。この結果をもとに、PSL(2, 2^n)で偶数位数の元(特に位数2の元)と関数の単位元における逆像f^<-1>(1)との関係を見つけることが今後の課題の1つである。
2. その他の組合せ構造と群の関係について特に散在型単純群の1つであるトンプソン単純群の作用するラティスめ構成法についての考察を行った。ここで得られた考察をもとにラティスの正確な記述ができるのではないかと期待できる。