Study of Analysis and Geometry of complex spaces

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 21H00989
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: KIGAMI JUN 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 白石 大典 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00647323) ; 相川 弘明 中部大学, 工学部, 教授 (20137889) ; 角 大輝 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (40313324) ; 秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質系, 教授 (60212445) ; 宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606) ; 熊谷 隆 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90234509) ; 梶野 直孝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (90700352)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: フラクタル / 拡散過程 / ラプラシアン

Outline of Final Research Achievements

To construct a diffusion process(or a Dirichlet form) on a metric space, we approximate the space by an infinite sequence of discrete graphs and consider when the natural discrete Dirichlet forms with certain scaling on those graphs converge to a local regular Dirichlet form on the original space. As a result, we find that a generalization of the "Knight move" condition, which was found by Barlow-Bass when they constructed the Brownian motion on the Sierpinski carpet, is a sufficient condition for the success of the above strategy. Moreover, we have found a new class of self-similar sets where we can construct a diffusion process by the above mentioned approach.

Free Research Field

複雑な空間上の解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

マンデルプローによって自然界の物体の適切なモデルとして提案されたフラクタル上では、その複雑な形状により通常の微分を基本とする解析学は適用できない。従って、自然界のモデルとしてのこのような複雑な空間で、物理現象を記述するためには、新しい解析学の理論が必要となる。本研究は、複雑な空間の幾何と解析の係わりの研究を通じて、複雑な空間上の拡散現象や波動現象を記述するための基本理論を確立し、さらに複雑な空間と従来の滑らかな空間上の物理現象の本質的な違いを明らかにすることに貢献している。