非可換代数における不変式論と母函数論の連動

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03209
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (60381141)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: Alon-Tarsi予想 / 行列式 / 非可換代数 / 不変式論 / Schur多項式の特殊値

Outline of Annual Research Achievements

「Alon-Tarsi予想」というラテン方陣に関する未解決問題について, 非可換不変式論の枠組みにおける言い換えを研究した. 具体的には, 多項式環や外積代数, さらにこれらの上の微分作用素環を舞台とする不変式論の命題でこの予想と同値なものをいくつか得た. とくに微分作用素の命題は, 研究代表者が以前から研究しているCapelli型の恒等式と関連しそうに見えて, 興味深く感じている. このような不変式論的な言い換えをすることで, この未解決問題を解決する手がかりが得られれば喜ばしい. これについては現時点でさほどの方針は立っているわけではないが, Alon-Tarsi予想が解決されている特定の行列のサイズ（素数pを用いてp-1やp+1と表されるものなど）に重点を置いて探っていくことは有望だと考えている. とくに行列のサイズがp-1の場合については, 最近研究代表者の与えた結果（Glynnによる超行列式と行列式の冪の関係の不変式論的な新証明で, これから行列のサイズがp-1の場合のAlon-Tarsi予想が導出される）と関連づけることが期待できる. このような関連づけから始めて, 非可換不変式論の枠組みを足がかりにAlon-Tarsi予想の研究を進めたい.
また今年度は, 以前に日高昌樹氏と共同で得たSchur多項式の特殊値に関する結果について, マトロイド理論やグラフ理論との関係を整理して, 学術論文にまとめた.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

Alon-Tarsi予想の非可換不変式論の枠組みにおける言い換えをいくつか得た. これによりこの予想の解決の見通しが立ったわけではないが, 研究代表者の過去の研究との繋げられそうである.

Strategy for Future Research Activity

Alon-Tarsi予想の非可換不変式論の枠組みにおける言い換えについて, Capelli型恒等式や超行列式に関する研究代表者の過去の研究との繋げて調べたい.

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの影響で, 計画していた出張を取りやめた. 2023年度は出張できることを期待している. また論文をオープンアクセス化する経費などにも使いたい.