2021 Fiscal Year Research-status Report

Differential geometry of surfaces with Weierstrass-type representaion formulae

Research Project

Project/Area Number	21K03226
Research Institution	Hiroshima University
Principal Investigator	藤森祥一広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (00452706)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Keywords	極小曲面 / 極大曲面 / ワイエルシュトラス型表現公式 / 解析的延長 / 特異点
Outline of Annual Research Achievements	ワイエルシュトラス型表現公式をもつ曲面、特に3次元ユークリッド空間の極小曲面および3次元ミンコフスキー空間の極大曲面の微分幾何学的性質に関する研究を行った。具体的には以下の3つの研究を行った。金田伸氏(広島大学)との共同研究で、3次元ミンコフスキー空間の向き付け不可能な極大曲面の構成に関する研究を行った。任意の種数かつ1つのエンドをもつ向き付け不可能な極大曲面を構成した。また、この曲面の対称性や特異点の形状についても考察を行った。この結果について論文を執筆し、掲載決定通知を得た。 Peter Connor氏(インディアナ大学)、Phillip Marmorino氏(ノートルダム大学)との共同研究で、3次元ユークリッド空間の二重周期的極小曲面の構成に関する研究を行なった。種数3で平行なエンドを持つ曲面の1径数族を構成し、この1係数族の極限や、この1径数族を極限とする三重周期的極小曲面の族についても考察を行った。この結果について論文を執筆し、投稿中である。川上裕氏(金沢大学)、國分雅敏氏(東京電機大学)、Wayne Rossman氏(神戸大学)、梅原雅顕氏(東京工業大学)、山田光太郎氏(東京工業大学)、Seong-Deog Yang氏 (高麗大学校)との共同研究で、曲面の解析的延長に関する研究を行った。特に3次元ド・ジッター空間の平均曲率1曲面の解析的延長について考察した。ド・ジッター空間の平均曲率1曲面は、局所的には3次元ミンコフスキー空間の極大曲面と等長対応することが知られているが、大域的な性質は大きく異なる。この平均曲率1曲面の解析的延長の有無を解明するために、一般論の展開と具体例の計算の両面から研究を行った。この結果について論文を執筆し、投稿中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 向き付け不可能な極大曲面の研究に関しては論文を１本執筆し、掲載決定通知も得たので研究は当初の計画以上に進展している。 2重周期的極小曲面の研究に関しては、極限や自己交叉性について等、当初の計画以上に進展している部分がある一方で、周期計算にはまだ解明できていない点もある。曲面の解析的延長に関しては、具体例の計算や解析的延長性の判定は当初の計画以上に進展しているが、一般論の確立についてはさらなる議論が必要である。以上のことを総合的に判断すると、研究は概ね順調に進展しているといえる。
Strategy for Future Research Activity	向き付け不可能な極大曲面の研究に関しては、ガウス写像の写像度が低い（4以下）曲面の分類と、ガウス写像の除外方向に関する研究を進めたい。 2重周期的極小曲面の研究に関しては、周期計算を解決したい。また、我々が構成した曲面に収束する3重周期的極小曲面の具体的な構成も試みたい。曲面の解析的延長に関しては、新しい概念を整理して、一般論の確立を進めたい。
Causes of Carryover	コロナ禍で出張が制限されたため。 2022年度は当初の計画より多くの出張が見込まれるため、出張旅費として使用する予定である。