2021 Fiscal Year Research-status Report
Nonlocal regularity for a geometric heat flow with fractional integral operator
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21K03330
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
三沢 正史 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ソボレフ不等式 / 分数階積分作用素 / 非線形固有値問題 / 分数階ソボレフ熱流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
分数階ソボレフ空間におけるSobolev不等式の最良定数を定める体積制限条件付き極値問題を考える. この条件付き極値問題に対する勾配流を分数階p-Sobolev熱流と呼ぶ. 多孔媒質型作用素と分数階pラプラス型作用素の混合した二重非線形放物型分数階積分方程式の解として定まる. 本研究の目的は以下の4つである： (1) 分数階p-Sobolev流の弱解(分数階ソボレフノルム, エネルギーと呼ぶ, が有限かつ体積保存する解)の時間大域存在を証明する. (2) 分数階p-Sobolev流の弱解の連続性を証明する. (3) 二重非線形放物型分数階積分作用素に対する先験的評価, エネルギー評価, 比較原理および正則性評価, とくに局所正値性評価(弱Harnack評価), 局所有界性評価を構成する. (4) 分数階p-Sobolev流の解の時間無限大漸近挙動, 定常解(条件付き極値問題の解)への収束および解の体積集中現象, を明らかにする. 令和3年度では, 分数階pラプラス型積分作用素をもつ多孔媒質型二重非線形退化特異放物型方程式の初期値境界値問題の弱解の大域存在を証明した(論文投稿済, 査読審査中). 微分pラプラス作用素と多孔媒質型作用素を伴う二重非線形退化特異放物型方程式については, 弱解に対する最大値の原理, 弱解の正値性を意味する弱ハルナック型評価(正値性伝播評価)および弱解の正則性(弱解およびその弱一階導関数のヘルダー正則性)を証明した. これらの結果にもとづき, 分数階二重非線形方程式の弱解の正値性および正則性を研究している.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前回の研究計画における微分pラプラス作用素を伴う二重非線形方程式の正則性,および微分pソボレフ熱流の正則解の大域存在とその漸近挙動の証明に予想以上に時間を要した. また, 分数階ｐラプラス二重非線形退化特異放物型方程式に対する弱収束の方法を確立することに時間を必要とした. 以上の理由のから, 分数階pラプラス二重非線形退化特異放物型方程式の弱解に対する最大値の原理, 正値性伝播および正則性の証明に手が回らなかった.
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| Strategy for Future Research Activity |
現在, 微分pラプラス作用素を伴う二重非線形方程式の正則性,および微分pソボレフ熱流の正則解の大域存在とその漸近挙動の証明を構築した. また, 分数階pラプラス二重非線形退化特異放物型方程式に対する弱収束の方法を確立した. これら結果にもとづき, 分数階pソボレフ熱流を含む分数階pラプラス二重非線形退化特異放物型方程式の弱解に対する最大値の原理, 正値性伝播および正則性の証明に集中して取り組む予定である.
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| Causes of Carryover |
研究経費使用の計画立案の段階では, 国内大学での関係研究者との研究打ち合わせおよび情報交換のため国内出張を多数予定していたが, 結局, コロナ感染症の流行が収まらず, すべての国内出張を断念せざるを得なかった. 代替措置として, メールおよびZoomなどの遠隔機器による研究打ち合わせおよび情報交換を行った. このため, 当初予定の旅費の使用ができず次年度使用額が生じた. 令和4年度には, 感染症の流行を見ながらではあるが, いくつかの国内出張を予定している. また, 状況がさらに許せば, 海外出張も計画する予定である. 国内外の出張が難しい場合には, 研究計画遂行のための関連文献の購入, 新規の遠隔機器および印刷機器の購入, または, 国際雑誌への公表論文のオープンアクセスなどを進める予定である.
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