2023 Fiscal Year Annual Research Report
Nonlocal regularity for a geometric heat flow with fractional integral operator
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21K03330
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
三沢 正史 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 分数階積分方程式 / 分数階pソボレフ熱流 / 分数階ソボレフ不等式 / 二重非線形分数階積分方程式 / 正則性特異性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
分数階ソボレフ空間におけるSobolev不等式の最良定数に関わる条件付き極値問題に対する勾配流を分数階p-Sobolev流と呼ぶ.分数階p-Laplace型積分作用素とporous medium型作用素とが混合した二重非線形放物型分数階積分方程式の解として定まる.本研究の特徴は, 分数階積分作用素の定義域遠方の効果(非局所効果)を適当に制御することによって,解の正則性特異性を精密に解析することである.正則性を得る所以は,二重非線形分数階積分方程式が,二重非線形放物型偏微分方程式と似たエネルギー構造をもつことにある.二重非線形分数階積分方程式の正則性解析をもとに,分数階ソボレフ流の時間大域存在を研究する.以下の研究成果を得た:(1)分数階pソボレフ流を導出する固有のスケール変換を構築した(論文5)(2)符号変化する初期値に対して,二重非線形放物型分数階積分方程式に対する初期値零境界値問題に対する弱解(分数階ソボレフ空間に属し超函数の意味で方程式を満たす解)の時間大域存在を証明した(論文4)(3)二重非線形放物型分数階積分方程式の非負弱解の正値性伝播を証明した(投稿準備中).分数階方程式に関係する二重非線形偏微分方程式の弱解について以下の結果を得た:(4)非負弱解の正値性伝播とヘルダー正則性を証明した(論文1).この結果は上記(3)に応用された.(5)符号変化する初期値に対して,初期値境界値問題の弱解の時間大域存在を証明した(論文2).この結果は上記(1)に応用された.(6)速い拡散型二重非線形偏微分方程式の有限時間消滅を証明した(論文3)(6)偏微分p-Sobolev流の解の時間無限大挙動,定常解(条件付き極値問題の解)への収束および解の体積集中現象を証明した(投稿準備中).
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