2023 Fiscal Year Research-status Report
Development of numerical verification method for resolvent
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21K03373
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
木下 武彦 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 楕円型境界値問題 / レゾルベント / 精度保証付き数値計算 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和5年度は非線形楕円型境界値問題の線形化作用素に由来する近似レゾルベントの収束オーダー関する結果がえられました．昨年度にえられた結果は近似レゾルベントの収束性なので，どのくらいの速さ(オーダー)で収束するかはわかりませんでした．これに対し，今年度の結果は収束オーダーの結果がえられたので，昨年度の結果も踏まえて，どのくらいの速さで収束するかがわかりました．この結果は当初の研究計画段階では予想していませんでした．なぜならば，通常，収束オーダーを手に入れるためには微分階数の差を利用しますが，レゾルベントには高等写像が含まれており，レゾルベントを作用しても微分階数の差が出ないので収束オーダーがえられないと予想していました．しかし，レゾルベントの作用素ノルムの収束性についてはこの問題を上手く回避することが出来て，当初予想もしていなかった結果がえられました．このような理由から，今年度えられた結果は大変意義のあるものだと考えています．
上記の結果は論文にして公表する前に国内の学会で発表しました．その際，国内の研究者から収束オーダー改善の指摘を受け，それに応じて事前誤差評価の改善を図ったりしました．現在えられている数値実験結果と事前誤差評価の収束オーダーにはまだギャップがあり，まだ収束オーダーを改善できる可能性があります．もしくは事後誤差評価であれば事前誤差評価よりも良い収束オーダーをえられる可能性があるので，現在は新しい事後誤差評価手法について検討し，数値実験結果に合う誤差評価がえられないか研究しています．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本助成事業の援助により，国内の学会で発表する機会をえることができました．その結果，国内の研究者から有用な助言をえることができました．さらに，共同研究者との討論の場を設けることができ，研究成果に磨きをかけることができました．その結果，当初の研究計画を超えた，近似レゾルベントのノルムに対する収束オーダーをえることができました．この結果はまだ国内の学会で発表したことに留まっているので，今年度は国内外での発表および論文発表を目指します．
以上の理由から，当該研究はおおむね順調に進展しているといえます．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和6年度は本研究課題の最終年度であるため，これまでえられてきた成果の発表と論文の公表を目指します．具体的には令和5年度にえられた近似レゾルベントのノルムに関する収束性の一般化および収束オーダーに関する論文を執筆します．このうち，収束オーダーの結果については事後誤差評価についてまだ改善の余地があると予想しています．本研究を推進するために，共同研究者全員と新たな事後誤差評価の可能性について議論の場を設けて，本研究課題を深く掘り下げたいと考えています．研究が順調に進まなかった場合には現時点でえられている近似レゾルベントの収束オーダーについて論文にまとめることにします．さらに，本研究課題でえられた近似レゾルベントの性質と作用素の摂動論とを組み合わせ，本研究の今後の方向性について模索します．
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| Causes of Carryover |
令和5年度は当初の計画よりも使用する旅費が少なかったために未使用額が生じました．その理由として今年度は大学院入試に大きく携わることになり，8月，9月に思うように出張することができなかったためです．また，当初の計画よりも研究室に配属される大学院生が少なく，大学院生が使用する予定だった計算機設備と旅費も使用しませんでした．令和6年度は繰越額も含めて計画通りの研究費を使用する予定です．
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