Anatomy and Physiology of Numbers -Statistics of Primes and Aliquot Sums-

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K13772
• Research Institution: Rikkyo University
• Principal Investigator: 鈴木 雄太 立教大学, 理学部, 助教 (30852199)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: 円周法 / 分散法 / 数の幾何 / Manin予想

Outline of Annual Research Achievements

今年度は立教大学の松澤陽介氏と射影多様体, 特に射影空間の超曲面上の有理点の分布, つまりはBirchの取り扱ったような斉次Diophantus方程式の解の分布について情報収集および研究を行った. 特にManin予想の部分結果を得ることを念頭に置いている. 最初にBrowning氏とHeath-Brown氏による円周法を用いた射影多様体の上の有理点の高さに関する分布の研究の再考から始めた. しかし個々の射影多様体については大きな改善の余地に困難さを感じ, le Boudec氏, Browning氏, Sawin氏が行っているような多様体の族に渡ってManin予想の平均的挙動の研究の吟味に移った. これを通して, Weak approximation, 更に強くは「合同条件付き」のManin予想に関して, 各素点での近似の度合いに関してなるべく一様に平均的結果を得るという問題意識を得た. さらに, この問題に対して, successive minima等に条件を付けた格子の分布のような数の幾何に関する先行結果を, 合同条件付きManin予想に必要な形に一般化して証明するアイデアを得た. 特に, 有限個の（有限あるいは無限）素点での近似条件を満たす点を含みかつsuccessive minimaが指定した大きさになる格子の数え上げの補題が得られつつある. まだ細部は再考が必要であるが, le Boudec-Browning-Sawinの文脈でのfirst momentを取り扱う場合は, 先に述べた問題意識に対してある程度の結果が得られそうであり, 議論を進めている.
先に述べたManin予想に関する結果を素数に対して考えたり（Birch--Goldbach problemあるいはGoldbach--Manin problemと呼べるだろうか）, 滑らかな数に対して考察したり等の新しい問題意識も得られた.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

当初設定した問題とは異なるが, 自身にとって新しい手法・問題意識で研究が進み, さらに当初の問題意識との組み合わせも予見されるため.

Strategy for Future Research Activity

現段階で結果が得られそうなのはfirst momentの場合であり, second momentの場合の研究も進める. 特に, le Boudec--Browning--Sawinによる"local counting function"に合同条件をつけた場合の変種の適切な定義を模索する. また, 解に乗法的な制約を課した場合の効果も考察する.

Causes of Carryover

次年度使用額が生じた理由は, 新型コロナウイルスにより参加予定であった種々の研究集会が中止・延期になったため, これらの出張の旅費として割り当てていた額が使用できなかったためである. この次年度使用額については, 次年度に開催・再開催される研究集会への旅費に充てる予定である.