Construction of analysis via partitions and weights of spaces

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 21K18587
• Research Category: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: KIGAMI JUN 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• Project Period (FY): 2021-07-09 – 2024-03-31
• Keywords: 距離空間 / 空間の分割 / フラクタル / グラフ近似 / ソボレフ空間

Outline of Final Research Achievements

In this study, we tried to construct a counterpart of (1, p)-Sobolev spaces on metric spaces via a scaling of discrete p-energies on discrete graphs approximating the original metric space. Note that we can not use the notion of derivation on complex metric spaces like fractals. In conclusion, we establish the notion of p-conductive homogeneity under which we have a proper scaling constant of discrete p-energies and as a consequence, we obtain a counterpart of (1, p)-Sobolev spaces and p-energies. In particular, in the case p = 2, we succeed to construct a natural diffusion process on the metric space.

Free Research Field

複雑な空間上の解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

この研究で考察の対象となる空間はフラクタルなどの複雑な空間である。フラクタルはマンデルブローにより自然界の物体の適切なモデルとして提唱された。従来のユークリッド空間や可微分多様などの滑らかな空間をモデルとした物理学ではその上の物理現象は微分を用いて記述されるが、フラクタルなどの複雑な形状を持つ空間では微分を定義することが出来ない。すなわち、フラクタルをモデルとした物体上の物理現象を記述するためには、「微分を用いない解析学」の構築が必要となる。本研究はそのような微分が定義できないような複雑な空間上での解析学の基礎の確立を目指している。