2022 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of nonlinear Schrodinger equation on network
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21K18588
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / ネットワーク / 調和解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は, ネットワーク上の量子的粒子の運動を, グラフ上で非線形シュレディンガー方程式を解析することで解明することである. 本年度はグラフ上の非線形シュレディンガー方程式に対し, 解の適切性(解の存在, 一意性, 解の初期値連続依存性)及び解の長時間挙動という観点から考察した. グラフ上の線形シュレディンガー作用素は, 一般にスペクトルの構造が複雑で, 例えば, 円と半直線をキルヒホッフ接続条件でつなげたオタマジャクシ型とよばれるグラフの場合, 連続スペクトルの中に可算無限個の埋蔵固有値が現れる. この場合, そのグラフ上の線形シュレディンガー方程式の解の減衰評価は知られているが, 本研究ではグラフにどのような構造があれば線形シュレディンガー方程式の解が減衰評価を持つのか?ということについて考察したとともに, 減衰評価が対応する非線形方程式の解の長時間挙動(散乱問題, ソリトンの漸近安定性など)に適用できるかどうかについても検討した. また, 関連する問題として, 空間1次元において3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系の解の長時間挙動について考察した. 方程式が単独の場合, 非線形項の影響により, 解の漸近形に位相の修正を伴うことが以前から知られていたが, 本研究では, 解の漸近形に位相の修正を伴うだけでなく, 振幅部分にも非線形項の影響による修正項が現れ, 解の時間減衰が対数オーダーや代数オーダーで遅くなるような非線形シュレディンガー連立系の例を見つけた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上で述べたように, グラフ上の線形シュレディンガー作用素のスペクトルの構造は複雑で, 対応する非線形シュレディンガー方程式の適切性や解の長時間挙動を調べるには固有値の影響を見る必要があり, 克服すべき課題が見えてきた. 一方, グラフの特別な場合と見なせる空間1次元において, 3次の非線形項をもつ非線形シュレディンガー連立系の解の長時間挙動について考察したが, 解の時間減衰が対数オーダーや代数オーダーで遅くなるような非線形シュレディンガー連立系の例を見つけることができ, 本研究課題に関連する問題でいくつか進展があった.
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は, 今年度に引き続き, (1)グラフ上の非線形シュレディンガー方程式の適切性, (2)グラフ上の非線形シュレディンガー方程式の解の長時間挙動, の2点について考察する. 特に, グラフ上で調和解析の理論を構築することでこれらの問題にアプローチにする. また, 本研究を推進するため, 偏微分方程式やグラフ理論, 調和解析の専門家を招聘し研究集会等を開催する.
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| Causes of Carryover |
本年度は, 前年度と同様, 偏微分方程式や調和解析, グラフ理論など本研究課題に関連する研究集会(京都大学数理解析研究所研究集会「調和解析と非線形偏微分方程式」など) に参加する目的で, 本年度の研究費のほとんどを旅費に充てていた. 前年度に比べ対面で開催された研究集会は多くなったものの, 新型コロナウイルスの影響でオンラインで開催となった研究集会もいくつかあり, 実際に使用した旅費の総額が当初予定していた総額を下まわった. 次年度は, 引き続き本研究課題に関連する研究集会に参加するとともに, 偏微分方程式やグラフ理論, 調和解析の専門家を招聘し研究集会等を開催する.
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