M凸関数最小化問題に対する高性能近似アルゴリズムの構築

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K21290
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 南川 智都 東京都立大学, 経営学研究科, 助教 (80911700)
• Project Period (FY): 2021-08-30 – 2023-03-31
• Keywords: M凸関数 / 離散凸解析 / 離散凸関数 / 離散最適化 / アルゴリズム

Outline of Annual Research Achievements

本年度はM凸関数最小化問題および関連問題について検討・考察を進めた．本研究で主な研究対象としているM凸関数最小化問題について，最急降下方向の情報を利用しない降下法の構築を考え，高性能なアルゴリズムの構築や反復回数の解析を試みた．各反復で近似率が保証された解が得られた状況を仮定した上でアルゴリズムの解析を試みたが，部分的な降下方向の情報のみで最適解や近似解に効率的に到達することが難しく，新たな成果は得られていない．検討・考察を重ねたことで，問題に関する理解は進められている．

打開策として分離凸関数や二次関数といった，M凸関数の部分クラスとして知られる関数についてアルゴリズムの構築・解析を進めている．特に，目的関数が分離凸関数の場合については，一般的な状況における降下法の挙動は明らかになっていないが，様々な扱いやすい性質を持つことから，特定の状況下における具体的な挙動が解析できている．

目的関数が分離凸関数となるケースについて深い理解を得るため，関連問題としてジャンプシステム上の分離凸関数最小化問題に対するアルゴリズムの考察も行った．この問題は1995年に安藤らによってある種の最急降下法が提案されているが，降下方向の選択の自由度が高いことが原因で，最適解に最短距離で到達できないケースが存在した．このアルゴリズムについて検討を重ね，降下方向を特殊化することで，最短距離で最適解まで到達できることが分かった．この問題は複雑な離散構造を持つため，これまでのM凸関数最小化問題に対する証明とは異なる証明方法を用いている．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初予定していた研究計画については，アルゴリズムの構築が予想以上に難しく，さらなる検討・考察と文献調査が必要であるため進捗が遅れているが，研究の過程でジャンプシステム上の分離凸関数最小化問題に関する新たな成果が得られているため．

Strategy for Future Research Activity

現在進めているジャンプシステム上での分離凸関数最小化問題に関して得られたアイディアをふまえ，M凸関数最小化問題および関連問題に関する研究を進める．次年度が最終年度となるため，得られた成果を国内外の学会等で発表し，評価を仰いだ上で，学術論文誌に投稿することを検討している．

Causes of Carryover

新型コロナウィルス感染拡大の影響が予想以上に大きく，海外だけでなく国内の出張までもがほぼキャンセルとなったため．来年度についても予定を決める事は難しいが、海外出張が難しければ国内を中心とした情報収集・学会発を行う予定である．