2013 Fiscal Year Annual Research Report
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22244004
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
小島 定吉 東京工業大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (90117705)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤原 耕二 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60229078)
高澤 光彦 東京工業大学, 情報理工学(系)研究科, 助教 (80323822)
逆井 卓也 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60451902)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 3次元トポロジー / 幾何構造 / 位相不変量 / 計算機支援 / 体積 / 2次特性類 / 力学系 / 葉層構造 |
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| Research Abstract |
本研究は，「幾何構造」「位相不変量」「計算」の三つをキーワードに絡め，研究開始の平成22年から数えて約10年後の3次元多様体論の標準的な教科書に登場するような項目を精査し，3次元トポロジーの研究を深化させることを目指している．
代表者はここ数年，上記の三つのキーワードを絡めた曲面の自己同型写像の複雑さを計るエントロピーと写像トーラスの単体体積の間にある関係の研究を進めている．とくに昨年度，擬アノソフ型自己同型に対しては，オイラー標数をかけることにより正規化したエントロピーと写像トーラスの双曲体積の比が，曲面のトポロジーには依らない一定の定数で下から抑えられることの証明のかなり詳細な道筋を，グルノーブル大学の Greg McShane 氏との共同研究で得ていた．一方，今年度に入り論文を執筆し始めた所，曲面が非コンパクトの場合は体積の収束に関してさらに技術的に詰める必要がある箇所が見つかったため，詰めの作業を続け，現時点で論文がほぼ完成しつつある状況にある．また，研究分担者および連携研究者もそれぞれ研究課題に添う重要な成果を得ているが，その詳細は省略する．
これらの座学的研究と同時に，8月にヘルシンキ大学において第22回 Rolf Nevanlinna Colloquium，また12月に東京大学において研究集会「トポロジーとコンピュータ」を開催し、近隣研究者との間で成果の相互発表，研究動向についての情報交換を行った．これらは本研究を進める上でたいへん貴重であり有益であった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
交付申請書中の平成22年度の研究計画・方法中の幾何構造（とくに双曲構造），幾何学的群論の側面の項目3に「近いうちに明言できると考えている」と記した事項について，研究実績の概要でも記した通り，曲面のトポロジーに対する仮定なしでの証明の道筋を得ており，近いうちに収束する見込みである．
また，一昨年 Agol と Wise により幾何学的群論の手法で解決されたバーチャルハーケン予想の証明を，3次元トポロジーの見地からいろいろ検討し，東京工業大学での講義および東京大学での集中講義として大学院生向けに実施，3次元多様体論の深化に新たに取り込むべき項目を精査した．とくにキューブ化という圏論的手法の有用性を深く認識できたことは，大きな収穫であった．
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度（平成26年度）は本研究の最終年度であり，テーマとして挙げた「3次元多様体論の深化」を目指したこれまでの研究を収束させる．本研究開始時は，Perelman による幾何化予想の解決が大きな話題で，微分幾何的な手法の重要性を勘案して当初計画を立てたが，今年度の研究で3次元多様体論と幾何学的群論の結びつきは不可避なものであることが明らかになり，研究開始から4年を経て明らかに状況が変わった．またここ数年に現れた幾何学的群論と3次元トポロジーの新たな結びつきにより，これまで取り扱いにくいとされていた基本群の理解を進める道具が豊富になっている．このため，本研究は3次元多様体論についてそもそもは「幾何構造」「位相不変量」「計算」の三つをキーワードとしてあげたが，「位相不変量」のなかでも究極の不変量と考えられる「基本群」にやや重きをおき本研究の収束を計り，さらに深化の落ち着き先を求めて平成27年度以降への発展すべき方向性を模索する予定である．
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Research Products
(18 results)
