2010 Fiscal Year Annual Research Report
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22340003
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
齋藤 秀司 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50153804)
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| Keywords | 代数的サイクル / 高次元類体論 / モチフィックコホモロジー / 加藤ホモロジー / エタールコホモロジー / ハッセ原理 / ゼータ関数 |
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| Research Abstract |
当該研究は次の3つの部門からなる.
(I)数論的多様体のモチフィックコホモロジーの研究
(II)代数的サイクルの$p$進Hodge理論を用いた研究
(III)代数的サイクルのHodge理論を用いた研究
以下特に,加藤予想の標数と素な部分の解決ついて解説する.加藤予想とは,加藤和也氏により1986年に提出された予想である.$X$を有限体あるいは整数環上有限型なスキームとすると,加藤ホモロジーと呼ばれる数論幾何学的な不変量$KH_q(X,\nz)$($q,n$は自然数)が定義される.加藤予想は$X$が正則かつ固有的な場合に,その加藤ホモロジー$q=0$以外では消滅することを主張する.$X$が有限体上の曲線,あるいは代数体の整数環のスペクトラムの場合の加藤予想は,有限体上の一変数関数体あるいは代数体$K$のブラウアー群に関する古典的基本定理「$K$上の中心的単純環にたいするHasse原理」に同値である.さらに$K=\bQ$で$n=2$の場合の加藤予想は,$\bQ$係数の2次形式に対するハッセ原理(Hasse-Minkowski)に同値で,このことから加藤予想はコホモロジー論的ハッセ原理とも呼ばれる.当該年度までの研究において加藤予想を$n$が$X$の標数と互いに素な場合に解決することに成功した.加藤予想は数論幾何学における諸問題に様々な応用を持つ.モチフィックコホモロジーの有限性予想への応用,ゼータ関数の特殊値への応用,高次元類体論への応用などが挙げられる.
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