2013 Fiscal Year Annual Research Report
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22540221
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
林 修平 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (20247208)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | Palis予想 / Smale予想 |
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| Research Abstract |
平成２５年度は、引き続き高次元Palis予想の解決に向けた研究を継続した。その計画において最も重要かつ困難な部分はリャプノフ指数が０をとる中心方向の不変部分空間において、いかにして十分大きな双曲性を得るかである。つまり周期軌道をつくる摂動に加えて中心方向の摂動を効果的に行なって十分大きなサイズの安定・不安定多様体を得られるかが焦点となる。当該年度の研究では、その摂動の技術をさらに高度なものにするべく努力を行なったが、まだ現時点では、十分簡潔に記述できるまでに至っていない。６月のポーランドで開催された国際会議では、その技術の簡略化についてのディスカッションを海外の研究者と持ち、情報の収集と改良を図った。その後、問題の部分を２次元の場合に適用して、すでにPujalsとSambarinoによって解決されている２次元Palis予想を見直すことも行なった。２次元の微分同相写像については、Pujals-Sambarinoの結果を含むSmale予想（双曲型の微分同相写像は稠密に存在する）が大きな未解決問題として残されているので、この見直しはSmale予想への展望を考察することでもある。Pujals-Sambarinoの結果と同様に双曲性をもつ微分同相写像の補集合の性質を述べた有名な結果にManeのC^1 generic dichotomy と呼ばれるものがある。それは、その補集合において無限個の周期的沈点を持つものが稠密であるというものである。上に述べた２次元での見直しにより、このManeの結果にさらに詳しい情報を加えることが可能であることが判明した。この結果を１月の京都大学で開催されたRIMS研究集会において発表した。その後の研究で、この時点で得られた結果よりもさらに強い結果が得られたので、この部分を論文としてまとめる作業に入ったところで当該年度の研究が終了した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究実績の概要でも述べたように、中心方向の摂動には多くの困難をともない、それは当初想定していたものよりも大きなものであった。これはこの数年間、同じ印象がさらに強くなっているものである。全体的な展望はあるものの、それがまだ十分に簡潔になっていないため、まとめるのに時間がかかり、まとめたとしても、その記述が複雑すぎると研究論文としての許容範囲を超えてしまう。そこで、その簡略化に手間取っていることが、研究の遅れの最大の原因である。一方で、その簡略化の研究の仮定で、新しい知見が得られた。その結果、高次元Palis予想という中心テーマの困難さもあり、この新しい知見をひとつの研究成果として先にまとめておきたい気持ちも出て来た。それをまとめる作業においては、大きな方向性は同じであるものの、局所的には少し異なる方向に研究時間を費やしていることにもなり、これがもうひとつの遅れの要因である。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、現在までの達成度の欄で述べた新しい知見に関する部分を論文にまとめる。その後、この結果を今年８月に韓国で開催される2014 ICMサテライト・コンフェレンスにおいて、研究発表を行なう。それと同時に中心課題である中心方向の摂動技術の簡略化を引き続きスピード感を持って進めて行かなければならない。幸い上記サテライト・コンフェレンスにはこの方向の専門家も参加するのでさらにディスカッションの機会を持ち、研究を前進させていきたい。８月以降はその簡略化が十分に達成出来ていると想定し、論文にまとめていく作業を行う予定である。そのために昨年度購入予定であったが、予定外の海外出張による支出のため購入を見送っていたパソコンの購入を今年度に実施し作業の効率化を図る。年度末に状況が整えば、内外のセミナー等で発表し、結果のチェックを行い、その後、速やかに論文の投稿まで漕ぎ着けるよう最大の努力を払う予定である。
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Research Products
(1 results)
