2023 Fiscal Year Research-status Report
量子 K 理論のシューベルト・カルキュラスとピーターソン同型
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22K03239
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岩尾 慎介 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (70634989)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | 量子 K理論 / ピーターソン同型 / 相対論的戸田方程式 / アフィン・グラスマン多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
シンプレクティック群のアフィン・グラスマン多様体の同変ホモロジー環について，シューベルト基底と対応する特殊関数を導入することができた（Mark Shimozono, 岩尾慎介との共同，準備中）．中川・成瀬の双対シューア P 関数のアフィン版である．同じ論文で，B 型の戸田方程式を背景とする，ある中心化族の座標環が同変ホモロジー環とホップ代数として同型であることも示している．また，この結果を同変 K-ホモロジー環の場合にまで拡張することができた（Shimozono, 山口航平との共同，準備中）．こちらは，やはり中川・成瀬の gp 関数のアフィン版である．さらに，以上の結果を特殊線型群の場合に拡張することができた（Shimozono, 山口航平との共同，準備中）．すなわち，K理論的 k-シューア関数をトーラス同変の場合に拡張した．同じ論文で，特殊線型群の場合に アフィン・グラスマン多様体の Kホモロジー環が，双対群のある中心化族の座標間と同型であることを示した．これは Ginzburg, Peterson によるホモロジー環に対する結果の拡張である．さらに，この結果に基づいて，ピーターソン同型を具体的な座標を用いて明示的に書き表すことに成功した（内藤聡，岩尾慎介，山口航平との共同，準備中）．その際に，相対論的戸田方程式が中心的な役割を果たす．
放物型ピーターソン同型の応用として，ラグランジアン・グラスマン多様体の同変量子 K 環の表示を与えることができた（河野隆史，中山勇祐，山口航平との共同，arXiv に投稿済）．この結果は上で述べたシンプレクティック群のアフィン・グラスマン多様体に関する結果と深く関係しており，さらに進展が期待できる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
対称関数による K ホモロジー環を構成する際に，Demazure 作用素の対称関数環に作用させる具体的な方法がわかったことが極めて重要である．これは課題申請時にはそれほど強調されていなかった視点であるので，当初の計画よりも研究が早く深く進んでいることを意味する．また，中心化族との関連も，とても具体的なレベルでわかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
準備中の数本の論文を完成させる．A型の２本は6月までには完成，投稿する．その後，C型の論文２本を完成させる．その結果をもとにC型の量子 K環におけるシューベルト類の探究に進む．また，放物型ピーターソン写像の研究を特にコミニュスクール多様体について実行する．一般の G に対する中心化族の定式化を与え，相対論的戸田方程式の相空間との同型を証明することを目指す．
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| Causes of Carryover |
海外からの研究者2名を招聘する予定があるため．
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Research Products
(10 results)
