2022 Fiscal Year Research-status Report
大域構造の空間を基軸とする低次元トポロジーの研究とその応用
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22K03313
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
小林 毅 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00186751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
村井 紘子 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (40456843)
張 娟姫 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (90708348)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | Heegaard分解 / 橋分解 / 位相的データ解析 / 応用トポロジー / 折り紙 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は二つの観点を持っている. それぞれについて実績の概要を述べる.
観点1では「大域的構造のなす空間」という視点から三次元多様体， 結び目・絡み目等に関係した研究を推し進める, としているがこれに関して三次元多様体内の絡み目の（strongly）keen bridge 分解と呼ばれる概念を定義し, そのような bridge splittingが豊富に存在することを証明した. また3次元球面内の結び目・絡み目に関しては, 橋分解と呼ばれる概念には二つの解釈が存在することを注意しそれらを, bridge splitting と bridge decomposition と呼称しその違いを調べる研究を実施した. これはこの分野の研究の進展にとって重要な事実の指摘になっていると考える. また waterbomb tube と呼ばれる剛体折り紙の剛体変形について研究を行い対称性の仮定の下でcylinder solutionが存在するための必要十分条件を考察した．基本形を横に並べる個数をnとすると，「cylinder solutionが存在する」為の必要十分条件は「nが5以上」であることを明らかにしたが, これはwaterbomb tubeの興味深い変形が実現できることを明らかにしたものである.
観点2では機械学習の研究にトポロジーの観点を取り入れ データ解析等に新しい研究のフレームワークを提案し応用トポロジーの発展に寄与する,としているが, 対話のテキスト文からその感情の動きを組み紐として可視化する方法について研究を行なった. また, Gabrielsson-Carlsson による畳み込み層の中のフィルターの集合に適切な距離を入れその距離のもと, その層に含まれるフィルター全体の形に関する研究について情報を収集したがこれは観点２の研究を進めるために有益であると考える.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は二つの観点を持っている. それぞれについて実績の概要を述べる.
観点１では, 小林, 張は３次元多様体のkeen Heegaard splitting に対応する概念として, 3次元多様体内の絡み目の（strongly）keen bridge 分解を定義し, そのような bridge splittingが豊富に存在することを井戸絢子氏との共同研究で証明した. この結果について現在論文を作成中で, ほぼ想定通りに研究は進展している.
また小林, 張は3次元球面内の結び目・絡み目の橋分解の同値性に関しては, 高尾和人氏, 小沢誠氏との共同研究で所謂橋分解と呼ばれる概念には二つの解釈が存在することを注意しそれらを, bridge splitting と bridge decomposition と呼称しその違いを明らかにする研究を実施したが, 現在その結果を公開するために論文を作成中である. これは当初想定した通りの研究が進んでいると評価している.
村井はwaterbomb tubeの剛体変形に関し, 対称性の仮定の下で , 「cylinder solutionが存在する」為の必要十分条件は「nが5以上」であることを明らかにした. これに関しては当初想定した通りの研究が進んでいると評価している.
視点2の観点から, 小林は対話テキストから感情の動きを組み紐として可視化する手法について大学院生と共同で研究した. さらに, Gabrielsson-Carlssonの, 順伝播型ニューラルネットワークの畳み込み層について位相幾何学的手法を適用する研究に関する情報を収集したが, この手法は視点2の研究の進展に有益だと認められた. この事実については当初想定した通りの研究が進んでいると評価している.
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| Strategy for Future Research Activity |
小林と張はkeen Heegaard splittingに加え, keen bridge splittingに関する研究を通して, 曲線複体内のHempel距離を実現する測地線に対する理解が深まった. この研究で用いた手法は今後weakly keenなHeegaard splittingに関する研究に役に立つと考えているのでこの方向で研究を推し進めていく予定である.
また現在行っているbridge splitting と bridge decompositionという２種類の橋分解に関する研究に関して, 例えば現在２成分以上の絡み目に関して知られているが, 結び目（１成分の絡み目）についてはまだ解っていない事実がある等まだ考察すべき課題が多数存在するので, 引き続きこれに取り組みたい.
また村井は具体的な折り紙パターンについて，その剛体変形による変形空間を解析した．特にwaterbomb tubeの剛体変形に関し, 対称性の仮定の下で cylinder solutionが存在する為の必要十分条件を与えたが, ここで対称性の条件を外した場合はどうなるのかなどの問題が考えられるのでそれについて取り組みたい. またflatな折り紙構造の空間の全体の研究にはまだ至っていないので, この研究にも取り組む予定である.
視点2の観点については, 対話テキストから感情の動きを組み紐として可視化する手法の研究をさらに推し進める. Gabrielsson-Carlsson の順伝播型ニューラルネットワークの畳み込み層についての位相幾何学的手法を拡張する方向で研究を進めるとともに, 実際に動作するプログラムにまで落とし込みたいと考えている.
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| Causes of Carryover |
昨年度は新型コロナウイルス（COVID-19）の大流行により、予定していた研究集会への参加、研究連絡が不可能となった。それに伴い、研究集会への旅費や滞在費、関連する資料作成など、当初の研究計画に基づいて予算化していた費用が発生しなかった。これらは、予想外の事態であった。
このような状況を鑑みて、未使用の補助金については、今年度の研究集会への参加・研究連絡に充てる予定である。また万が一コロナ禍やそれに類する感染症の流行が発生した場合に備えて、オンラインでの研究活動や研究資料の作成など新たな研究機会の探求に備えることを考えている。
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Research Products
(3 results)
