2023 Fiscal Year Research-status Report
Functional analysis and stochastic analysis for coagulation-fragmentation phenomena
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22K03357
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
半田 賢司 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10238214)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | Poisson-Dirichlet分布 / 点過程 / 生成作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Bertoin [Combinatorics, Probability and Computing, 2008] の可逆な凝結・分裂過程モデルにおいては，２パラメータPoisson-Dirichlet分布のパラメータ（α，θ）でαが正の場合に限定されたもののみが可逆分布となる．実はそれよりも前に，α＝０の場合のみに限定したPoisson-Dirichlet分布を可逆分布として持つ凝結・分裂過程がMayer-Wolf, Zeitouni, Zerner [Electron. J. Probab., 2002] によって議論されていた．そこで，これら２つのモデルの関連性を無限次元汎関数解析の視点で考察した．
まずは，Bertoinの可逆な凝結・分裂過程モデルにおいて正のαの値を０に近づける極限において何が起こるかを，適当な汎関数（生成作用素に相当）の漸近挙動を介して見た所，適切なスケール極限の下で，Mayer-Wolfらによって議論されたモデルの対応物へは収束せず，極限は別の表示をとることが判明した．
そこで，Bertoinの可逆な凝結・分裂過程モデルにどのような修正を施せば，同様のスケール極限の下でMayer-Wolfらによって議論されたモデルの生成作用素が導かれるかを議論した．その結果，Bertoinのモデルにおける分裂のジャンプレートを各クラスターサイズに依存したものへと変えるとともに，凝結の操作においても各クラスターサイズに依存したものへと変えることが適切な修正となる，といった結果が得られた．この概要については，3月に開催された佐賀大学ワークショップにおいて報告を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
結果としてまだ不足の点がある．適切に修正されたモデルにおいても２パラメータPoisson-Dirichlet分布が可逆分布となっていることについて，Palm分布族や確率母関数を通じた明快な説明が得られていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
可逆性のみならず，双対性にも視野を広げて，統一的な観点で議論する．その際基にするのはPitmanにより発見された凝結・分裂双対性である．そこではやはり２パラメータPoisson-Dirichlet分布の下での作用素を考えることになるので，これまでの議論の発展可能性の試金石として，検討するに値するものと考えている．
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| Causes of Carryover |
対面行事の開催が大半となった年度ではあるが，学内では教育義務・管理業務が繁忙を極め，出張等の機会が容易に得られなかったことが主要な理由である．そのような状況を改善するため，バイアウトも検討する考えである．学生アルバイトを通じても可能な作業に関しては学生アルバイトに任せたい．また，前年度途中から解約し，利用不可となったMathSciNetについて，その代替的な措置を講ずる際，本研究費からの支出が可能か否かも検討したい．
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