2012 Fiscal Year Annual Research Report
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23244015
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
長井 英生 関西大学, 工学部, 教授 (70110848)
儀我 美一 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70144110)
三上 敏夫 広島大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (70229657)
小池 茂昭 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90205295)
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| Project Period (FY) |
2011-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 関数方程式，米国，フランス，イタリア / 粘性解，米国，フランス，イタリア / 最適制御，米国，フランス，イタリア / 曲面の発展方程式，米国，フランス，イタリア / 完全非線形偏微分方程式，米国，フランス，イタリア |
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| Research Abstract |
１．移流項をもつ放物型方程式に対する準安定性の出現に関する研究をP. E. Souganidis氏との共同研究で進め，概ね完成させた．２．完全非線形２階楕円型方程式に対する固有値問題の研究を生駒典久氏と共同で推進した．特に球対称な固有関数の存在，完全性，単純性をロバン型の境界条件の下で調べた．３．時間無限大におけるハミルトン・ヤコビ方程式の解の振舞いをG. Barles, 三竹大寿両氏と共同で研究し，Barles，Souganidisの両氏によって導入された解の公式によらない，ある種の単調性に注目する研究方法を改良した新しい方法を考案し，この方法で周期境界条件の場合を研究した．この種の研究では，ハミルトニアンの真正非線形性(genuinely nonlinearity)が重要な役割を果たすが，この条件についても詳細に調べた．４．拡散が非常に強くファセットを生成するような非局所的拡散方程式について, 適切な粘性解の概念の構築および具体的な粘性解の構築を行った．５．非有界係数・非有界非斉次項を持つ完全非線形偏微分方程式のLp粘性劣解の局所最大値原理を係数や非斉次項を従来より弱い条件下で一般化した．６．市場の数理モデルにおけるダウンサイドリスク最小化問題に動機づけを得て，一般的な拡散過程の，制御項を含む加法的汎関数に関する大偏差確率の評価を考察した．対応するエルゴード型ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の解析を通じて，最小化大偏差確率に関する双対型定理を得た．また，同じ拡散過程のずれの係数に不確かさを容認した設定で，大偏差確率のロバストな評価も得た．７．Jin Feng氏との共同で，無限時限のハミルトン・ヤコビ方程式の解の長時間漸近挙動の解析，及び，KPZ方程式の解の新しい定義，存在，一意性について，部分的な結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究組織の連携の下で，弱ＫＡＭ理論関連，最適化問題，数理ファイナンスなどに関連した非線形偏微分方程式の基本的で応用上重要な問題に関して，本年度の計画を概ね達成したものと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
粘性解理論の深化に向けて，本研究組織の連携のもと，海外の研究者との共同研究を組織しながら，境界値問題，弱ＫＡＭ理論，粘性解の正則性，最適問題への応用，漸近問題への応用，幾何学的非線形問題などの課題の研究を着実に進める．
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