高次Ｃｈａｎｇ予想と飽和イデアルのモデルの構成

2011 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 23540119
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 塩谷 真弘 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30251028)
• Project Period (FY): 2011-04-28 – 2014-03-31
• Keywords: 数理論理学 / 公理的集合論 / 無限組合せ論 / 強制法 / 巨大基数 / 反映原理 / 飽和イデアル

Research Abstract

Kunenは，Chang予想と飽和イデアルのモデルを構成するための非常に画期的な手法を開発した．筆者は平成２３年度に，Kunenの手法に新しいアイデアを付け加えることによりForemanの以下の２つの有名な結果に対してより簡明な証明を与えることができた：その１．Foremanの定理「２膨大基数の存在を仮定すると，３次Chang予想が成立するモデルが構成できる」の証明を大幅に簡易化し，その証明を書き上げた（論文Chang's conjecture for triples revisitedは最終的なチェックの後，投稿する予定）．Foremanの原証明は４０頁弱を要したが，我々の新証明ではその約半分で済むことが分かった．特に，モデルを与える順序集合の定義に原証明は８頁を費やしたが，新証明では２頁で済んでいる．その２．以前に筆者は，Easton崩壊順序を導入することにより，Laverの定理「膨大基数の存在を仮定すると，正則非可算基数が強い意味での飽和イデアルを持つモデルが構成できる」を，非常に簡単に証明することができた．より具体的には，Easton崩壊順序を２回反復することにより，求めるモデルを得ることができた．２３年度には，Easton崩壊順序を用いると，Foremanの定理「膨大基数の存在を仮定すると，すべての正則非可算基数が同時に飽和イデアルを持つモデルが構成できる」の証明も大幅に簡易化できることがわかった．２４年度においてさらなる応用の可能性を見極めた上で，論文の改訂に取りかかる予定である．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

２３年度の実績として述べたように，Foremanの第２の定理をKunenの手法を発展させることで簡明に証明することに成功した．これは正に，当該年度の研究計画を達成したことを意味しており，Kunenの手法がいまだに大きな可能性を秘めていることを実証できた．これによって，本研究の最終目標である，Woodinの定理「膨大基数の存在を仮定すると，正則非可算基数が稠密イデアルを持つモデルが構成できる」を新たな手法によって証明し直すことにも希望が見えてきた．一方で，Woodinの定理がKunenの手法の限界を示すものである可能性が，以前に想定していたよりも大きくなった．この新しい問題意識を具体的な問題として定式化したものを２４年度の計画として述べる．本研究のもう１つの最終目標は，４次以上の高次Chang予想の解決であった．２３年度の成果として，３次の場合の証明の大幅な簡易化がほぼ確定したことにより，解決の糸口が得られたものと思われる．

Strategy for Future Research Activity

まず，前述のForemanの定理をしのぐ，次の予想を証明することを目指す：予想１．膨大基数の存在を仮定すると，すべての正則非可算基数が同時に強い意味での飽和イデアルを持つモデルが構成できる．そのための準備として，予想「膨大基数の存在を仮定すると，Easton崩壊順序を３回反復することにより，２つの正則非可算基数が強い意味での飽和イデアルを持つモデルが構成できる」の証明を目指す．一方，Kunenの手法によって正則非可算基数上の飽和イデアルを持つモデルが構成されだけでなく，羃集合上の飽和イデアルを持つモデルも構成できることが知られている．そこで，Kunenの手法によってWoodinの定理が証明できるならば，羃集合上の稠密イデアルを持つモデルも構成できることが予想される．そこで，次の予想を証明することでKunenの手法の限界を示すことを目指す：予想２．羃集合上には稠密イデアルは存在しない．

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

３月に出張した分の旅費が４月に支払われるため，次年度使用額に含まれているが，計画通り実施している．これ以外の次年度の研究費の主な使用計画は以下の通りである：年２回，国内の専門家を招いて集中的にセミナーを行うための費用として２０万円．国内外の研究集会で成果を発表するための旅費として４０万円．また集合論の専門書の購入費として１０万円．