2015 Fiscal Year Annual Research Report
積空間の理論から超空間の位相的性質の解明へ：集合論的手法の模索
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23540149
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
家本 宣幸 大分大学, 教育福祉科学部, 教授 (70161825)
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| Project Period (FY) |
2011-04-28 – 2016-03-31
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| Keywords | 超空間 / 積空間 / 順序位相空間 / 順序数空間 / 単調正規空間 / 正規 / 可算メタコンパクト |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2X で空ではない X の閉集合全体で Vietoris 位相を入れた超空間を表す。[X]2 で空ではない X の2点以下の集合全体に Vietoris 位相を入れた超空間を表す。2X （[X]2） から X への関数 f は各要素 A に対して f(A) が A の要素になるとき選択関数と呼ばれる。1950年代の古典的な結果として、コンパクトで連結な空間 X について、2X が選択関数を持つこと、[X]2 が選択関数を持つこと、X が順序可能であることは互いに同値であることが知られている。これらの結果に関連し、最終年度は、積空間 XxY が順序可能であれば、X と Y はどのような性質を持つか、あるいはどのような場合にその逆が成り立つかについて考察し、X, Y が離散空間ではないとき、（１）積空間 XxY が順序可能であれば、X と Y は継承的パラコンパクトで無限基数 κ が唯一存在して X （Y）のどんな要素についてもその左右からの共終性が 0 か 1 か κ である、（２）X と Y が順序数の部分空間であれば（１）の逆も成立する、という結果を得た。この結果は国際的な査読誌 Topology Proceedings に受理され掲載予定である。
また、研究期間を通したくさんの研究成果が得られた。2012年には神奈川大学の平田氏と順序数のコンパクト集合全体からなる超空間についてその正規性とオルソコンパクト性が同値であることを示した。また、順序位相空間の辞書式順序積の位相的性質の考察、超空間の実数値連続関数の拡張可能性、単調正規空間といろいろな位相空間の積の位相的性質の考察など、数編が国際的な査読誌 Topology and Its Applicationsに掲載され、当初の研究目的はほぼ達成された。
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