2013 Fiscal Year Research-status Report
スケール付き極小モデル理論を用いた高次元ファノ多様体の研究
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23740028
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
月岡 透 東海大学, 理学部, 講師 (30508403)
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| Keywords | 代数幾何学 |
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| Research Abstract |
高次元の非特異ファノ多様体、特に４次元の場合を中心に研究した。ファノ多様体は反標準因子が豊富な代数多様体として定義され、代数多様体の分類理論（極小モデル理論）において基本的な対象のひとつである。３次元までの非特異ファノ多様体については、完全な分類があるが、４次元以上については部分的な分類結果に留まっている。ピカール数が２以上のファノ多様体は、端射線の情報を用いて幾何構造がある程度決まる。３次元では、森と向井の分類表がこの考えに基づいており、同様の手法は４次元以上のファノ多様体にも適用できると思われる。しかし、４次元ファノ多様体すべてを分類するというのは、問題設定として大きすぎるので、ある種の状況下での分類が現実的である。そこで、４次元で特に興味深いと思われる小収縮（フリッピング収縮）を持つファノ多様体の構造を調べた。４次元多様体内において互いに交わる曲線と曲面のブローアップを組み合わせて、このような例を体系的に作ることができる。逆に、どのような４次元多様体を、どのような曲線と曲面に沿ってブローアップするとファノ多様体になるか、という問題が考えられる。本年度はこの問題について考察した。４次元小収縮の例外集合は、一般には複数個の既約成分からなる。しかし、ファノ多様体の場合は既約成分の個数はそれほど多くないと考えられる。そこで、例外集合がただひとつの既約成分よりなる場合（つまりブローアップの中心である曲線と曲面の交点が１点である場合）を調べ、部分的に分類した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
４次元ファノ多様体の分類問題に対する成果は少ないが、小収縮を持つ４次元ファノ多様体に着目し、その基本的な因子の交点数を詳しく調べ、ネフ錐の構造やファノ多様体の幾何構造を具体的に記述し、観察したという意味では、今後の研究の基礎になると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
曲線と曲面のブローアップの組み合わせによって得られる４次元ファノ多様体について引き続き研究し、完全な分類を目標に研究を推進する。また、一般次元に拡張できる例については、ネフ錐の構造やファノ多様体の幾何構造（たとえば、ファイブレーションや特殊な因子の存在）を明らかにし、高次元ファノ多様体の一般的な性質を捉え、次元に関する帰納法的な議論を援用した分類方法の可能性を考察する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
関連分野の研究集会への参加と専門図書の購入が予定より少なかったため。
関連分野の研究集会への参加と専門図書の購入を計画的に行う。
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