2023 Fiscal Year Research-status Report
Comprehensive topological study on cobordism, bivariant theory, topology of spaces of morphisms and related topics
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23K03117
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
與倉 昭治 鹿児島大学, 理工学域理学系, 名誉教授 (60182680)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
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| Project Period (FY) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | cobordism / algebraic cobordism / bivariant theory / rational homotopy theory |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１）代表者はLevine-Morelのalgebraic cobordism(Springer Monogr. Math., 2007)の双変理論を構成する目的で普遍双変理論(Internat.J.Math.,2009)及び類似版（Internat.J.Math.,2019)を構成したが、Toni Annala氏(British Columbia大学）は導来スキーム理論及び代表者の普遍双変理論を用いて、代表氏が目指していた「普遍双変理論の商」として得られるであろう「algebraic cobordismの双変理論」の構成に成功した(J.Alg.Geom., 2021)。これと類似の方法で、Lee-Pandharipand のベクトル束付きalgebraic cobordism (J. Eur. Math. Soc., 2012) の双変理論を、Annala氏との共同研究で構成した。また、K理論の類似の双変理論であるKK-理論のcorrespondenceによる構成（H. Emerson and R. Meyer, Adv. Math., 2010）をヒントに、代表者はcorrespondenceを用いてalgebraic cobordismの双変理論に類似した理論(bi-variant algebraic cobordism)を構成した。
２）Fulton-MacPhersonのoperational bivariant theory（作用素論的双変理論）の双対版とも言えるco-operational bivariant theory を構成した。この理論はcohomology作用素を一般化したものが構成要素となっている。
３）「射空間のトポロジーとその周辺の位相幾何学的研究」に関しては、有理ホモトピー論で知られているHilali予想は空間に対する有理ホモロジーと有理ホモトピーの次元に関する、ある不等式の予想であるが、代表者と山口俊博氏（高知大学）はこの予想を写像（射）に対するHilali予想に一般化した（2018）。この予想はkernelを用いた予想であるが、本研究ではcokernelを用いた予想をも導入し、これら二つの予想間の関係及び関連する結果などを纏めた。
４）Handbook of Geometry and Topology of Singularities (Springer Verlag)の編集委員からの依頼を受けて執筆した「Motivic Hirzebruch classes and related topics」（約100頁）はVol. IVに掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
cohomology作用素の理論はこれまで個別に研究されていたが、cohomology作用素を一般化する形で、co-operational bivariant theory（双対作用素論的双変理論）を構成することができたことは、cohomology作用素の理論の研究の観点からは、興味深いことではないかと思うとともに、また新たな発見があるのではないかと期待される。よって、さらなる双変理論の研究などを現在進めている。
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| Strategy for Future Research Activity |
cohomology 作用素とco-operational bivariant theory（双対作用素論的双変理論）の関連をさらに考察する。「射空間のトポロジーとその周辺の位相幾何学的研究」に関しては、写像（射）に対するHilali予想の研究との関連で、代数多様体に関するHilali予想や、代数幾何、微分幾何、表現論、特異点論など色々な数学分野で研究対象となっているstratification, stratified spaces, poset-stratified space等に関することについても考察するつもりである。
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| Causes of Carryover |
参加を予定していた海外の研究集会（一件）に、都合により参加できなくなったため、その分の一部は国内研究集会参加のために使った。次年度繰越分は、今年度招待された海外の研究集会に参加するための渡航費用として使う予定である。
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